Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thời gian chạy của sắp xếp cơ số LSD trên n số nguyên có d chữ số trong cơ số k là bao nhiêu?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Cận nào là đúng cho log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một cây nhị phân có gốc 1 với con trái 2 và con phải 3; nút 2 có các con 4 (trái) và 5 (phải). Duyệt thứ tự trước là gì?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 3 4 5
  4. D1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thời gian chạy của tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị có V đỉnh được lưu bằng ma trận kề là bao nhiêu?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
31475213610161ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(d(n + k))

Vì sao đây là đáp án

Mỗi lượt trong d lượt là một sắp xếp đếm tốn O(n + k), nên với d và k cố định tổng là tuyến tính theo n.

Đáp số

B · O(d(n + k))
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Θ(n log n)

Vì sao đây là đáp án

log(n!) ≤ n log n, và n / 2 thừa số lớn nhất cho log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); đó là lý do sắp xếp dựa trên so sánh cần Ω(n log n).

Đáp số

B · Θ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 1 2 4 5 3

Vì sao đây là đáp án

Preorder thăm 1, rồi cây con trái của nó (2, 4, 5), rồi 3; các phương án khác là inorder, postorder và duyệt theo mức.

Đáp số

D · 1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi trong V đỉnh quét một hàng gồm V phần tử, cho O(V²); với danh sách kề BFS là O(V + E).

Đáp số

C · O(V²)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

A, C, E, F → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 30

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

GE (1): lấy
DE (2): lấy
AC (3): lấy
CE (5): lấy
GB (6): lấy
BD (7): bỏ qua, tạo chu trình
GC (10): bỏ qua, tạo chu trình
DF (13): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 13 = 30

Đáp số

W = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms