Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phân tích khấu hao đo lường điều gì?

  1. AChi phí của một thuật toán trên đầu vào tốt nhất
  2. BChi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất
  3. CChi phí của thao tác đơn lẻ tốn kém nhất ở bất kỳ đâu trong chuỗi
  4. DChi phí kỳ vọng trên các đầu vào ngẫu nhiên
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Bellman–Ford phát hiện chu trình trọng số âm có thể đến được từ nguồn bằng cách nào?

  1. ASau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
  2. BNó chạy thuật toán Dijkstra hai lần và so sánh hai kết quả khoảng cách
  3. CNó đếm các chu trình bằng tìm kiếm theo chiều sâu
  4. DNó kiểm tra xem có cạnh nào có trọng số âm không
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một mạng lưới đường có 100,000 giao lộ, mỗi giao lộ nối với khoảng 4 giao lộ khác. Cách biểu diễn nào phù hợp nhất?

  1. AMột đống nhị phân các cạnh
  2. BMa trận kề
  3. CDanh sách kề
  4. DMột mảng đỉnh đã sắp xếp đơn lẻ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. ATìm trung vị trong O(1)
  2. BTruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
  3. CChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
  4. DSắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K8 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K8
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
131593511151122ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(G) của đường đi ngắn nhất từ A đến G trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: G
d(G) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Chi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Phân tích khấu hao trải chi phí của các thao tác tốn kém hiếm gặp lên nhiều thao tác rẻ, cho một mức trung bình được đảm bảo với mọi chuỗi thao tác.

Đáp số

B · Chi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không

Vì sao đây là đáp án

Mọi khoảng cách ngắn nhất thực sự được tìm thấy trong V − 1 vòng; nếu một cạnh vẫn có thể được cải thiện thì phải tồn tại chu trình âm.

Đáp số

A · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Danh sách kề

Vì sao đây là đáp án

Ma trận sẽ cần 1010 ô, gần như đều trống; danh sách kề chỉ lưu khoảng 400,000 mục cạnh.

Đáp số

C · Danh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

B · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 2520

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Đáp số

H = 2520
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(G) = 20

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 13, C: 15
B (13): G: 28
C (15): E: 18, G: 26
E (18): D: 23, G: 20
G (20): D: 22
D (22): F: 33
F (33)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → G
d(G) = 20

Đáp số

d(G) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms