Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
  2. BTham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  3. CTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
  4. DTham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sự khác biệt giữa một bài toán bất khả quyết định và một bài toán không khả thi (intractable) là gì?

  1. ACả hai đều có nghĩa là bài toán hoàn toàn không có thuật toán
  2. BBài toán bất khả quyết định thuộc NP, còn bài toán không khả thi thuộc P
  3. CBài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
  4. DBài toán không khả thi không thể giải bằng bất kỳ thuật toán nào, còn bài toán bất khả quyết định chỉ cần thời gian hàm mũ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Kiểm tra cạnh (u, v) có tồn tại hay không bằng ma trận kề mất bao lâu?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc union-find (tập rời nhau) với hợp theo hạng và nén đường đi có chi phí khấu hao mỗi thao tác là:

  1. AChính xác O(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
159815512131ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

C · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm

Vì sao đây là đáp án

Bài toán dừng hoàn toàn không có thuật toán; một bài toán NP-khó như TSP có thể giải bằng vét cạn, chỉ là không trong thời gian đa thức đã biết.

Đáp số

C · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Phần tử ma trận ở hàng u, cột v cho biết ngay cạnh có tồn tại hay không; danh sách kề có thể phải quét các láng giềng của u.

Đáp số

A · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số

Vì sao đây là đáp án

Với cả hai tối ưu hóa, các thao tác tốn thời gian khấu hao O(α(n)); α(n) ≤ 4 với mọi n thực tế.

Đáp số

D · O(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Các đỉnh lẻ

A, G → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 27

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 15, C: 9
C (9): E: 14
E (14): D: 26, F: 27
B (15)
D (26)
F (27)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 27

Đáp số

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms