Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao cơ số của logarit thường bị bỏ trong Big O, như trong O(log n)?

  1. ACác logarit với cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số hằng
  2. BCơ số chỉ quan trọng với n nhỏ
  3. CMọi logarit trong khoa học máy tính đều có cơ số 10, nên cơ số được ngầm hiểu
  4. DLogarit luôn được làm tròn thành số nguyên
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tra cứu trung bình trong bảng băm là O(1) nhưng trường hợp xấu nhất là O(n)?

  1. AHàm băm chậm
  2. BCác khóa phải được sắp xếp trước
  3. CNhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn
  4. DMảng có truy cập O(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. ATìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  2. BChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
  3. CCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  4. DKhông nút nào có hai con
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao máy chủ có thể chọn hàm băm ngẫu nhiên từ một họ phổ quát?

  1. AĐể đảm bảo không hai khóa nào từng va chạm, bất kể kẻ tấn công gửi khóa nào
  2. BĐể làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
  3. CĐể làm bảng băm được sắp xếp
  4. DĐể loại bỏ nhu cầu đổi kích thước bảng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
510611181319ABCDE

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Các logarit với cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số hằng

Vì sao đây là đáp án

Đổi cơ số nhân logarit với một hằng số, và Big O bỏ qua các hệ số hằng.

Đáp số

A · Các logarit với cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số hằng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Nhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn

Vì sao đây là đáp án

Với hàm băm tốt và hệ số tải hợp lý, các ngăn vẫn ngắn trung bình; băm kém hoặc bị tấn công có thể đưa mọi khóa vào một ngăn.

Đáp số

C · Nhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

B · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm

Vì sao đây là đáp án

Với băm phổ quát, số va chạm kỳ vọng nhỏ đối với mọi tập khóa, vì kẻ tấn công không biết hàm nào được chọn.

Đáp số

B · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 35

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

AB (5): lấy
BC (6): lấy
AC (10): bỏ qua, tạo chu trình
BD (11): lấy
DE (13): lấy

Tổng trọng số

W = 5 + 6 + 11 + 13 = 35

Đáp số

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms