Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Lấy cả hai đầu mút của mọi cạnh trong một cặp ghép cực đại cho ta một phủ đỉnh. Phủ này tốt đến mức nào?

  1. ACó kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
  2. BKhông rõ chất lượng so với tối ưu
  3. CTối đa log n lần giá trị nhỏ nhất
  4. DLuôn là một phủ đỉnh nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một nút trong cây tìm kiếm nhị phân có cây con phải. Nút kế tiếp theo thứ tự giữa của nó nằm ở đâu?

  1. ANút ngoài cùng bên phải của cây con trái
  2. BLuôn là cha của nó
  3. CNút ngoài cùng bên trái của cây con phải
  4. DLuôn là con phải của nó
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc nào cho phép tính giá trị lớn nhất của mọi cửa sổ kích thước k trong mảng với tổng thời gian O(n)?

  1. AMột mảng đã sắp xếp được cập nhật bằng dịch chuyển
  2. BMột danh sách liên kết đơn gồm các phần tử của cửa sổ
  3. CMột đống min được xây lại cho mỗi cửa sổ
  4. DMột deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại D? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Theo định lý chủ, nlog₂ 2 = n chiếm ưu thế so với công việc hằng số, nên T(n) = Θ(n), như khi tìm giá trị lớn nhất bằng cách chia đôi.

Đáp số

A · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất

Vì sao đây là đáp án

Các cạnh của cặp ghép không có đỉnh chung, nên phương án tối ưu cần ít nhất một đỉnh cho mỗi cạnh, trong khi phương pháp này lấy hai: một xấp xỉ hệ số 2.

Đáp số

A · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải

Vì sao đây là đáp án

Mọi khóa lớn hơn gần nút đều nằm trong cây con phải, và khóa nhỏ nhất trong số đó là nút ngoài cùng bên trái ở đó.

Đáp số

C · Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần

Vì sao đây là đáp án

Phần đầu của deque luôn là giá trị lớn nhất của cửa sổ; mỗi chỉ số vào và rời deque một lần, nên công việc là tuyến tính.

Đáp số

D · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)DD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 3·0 + 1·1 + 1·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms