Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao quy hoạch động không đem lại sự tăng tốc thực sự cho sắp xếp trộn?

  1. ASắp xếp trộn đã là O(n)
  2. BCác bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
  3. CSắp xếp trộn không có cấu trúc đệ quy
  4. DQuy hoạch động chỉ hoạt động trên các bài toán đồ thị, không dùng được trên mảng
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phải chứng minh hai điều nào để chứng tỏ một bài toán quyết định X là NP-đầy đủ?

  1. AX quy dẫn về một bài toán trong P, và X thuộc NP
  2. BX không có thuật toán đa thức, và X quyết định được
  3. CX thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
  4. DX thuộc P, và X quy dẫn về SAT
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Danh sách kề dùng bao nhiêu bộ nhớ cho đồ thị có V đỉnh và E cạnh?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E²)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các quy tắc cây đỏ-đen đảm bảo điều gì về chiều cao của cây có n khóa?

  1. AChiều cao chính xác là log2 n
  2. BChiều cao tối đa là n / 2
  3. CChiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
  4. DChiều cao tối đa là log2 n + 1
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
7103936811ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng

Vì sao đây là đáp án

Các nửa của sắp xếp trộn rời nhau và mỗi nửa được giải một lần; DP chỉ giúp khi các bài toán con lặp lại, như trong Fibonacci.

Đáp số

B · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Việc thuộc NP cho thấy X không khó hơn NP; phép quy dẫn từ một bài toán NP-đầy đủ đã biết cho thấy X khó ít nhất bằng toàn bộ NP.

Đáp số

C · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(V + E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi đỉnh có một danh sách và mỗi cạnh xuất hiện một lần (có hướng) hoặc hai lần (vô hướng), cho O(V + E).

Đáp số

B · O(V + E)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)

Vì sao đây là đáp án

Mọi đường đi có cùng số nút đen và các nút đỏ không được kề nhau, nên đường dài nhất tối đa gấp đôi đường ngắn nhất, cho chiều cao O(log n).

Đáp số

C · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

B, C, D, E → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 22

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 7, C: 10
B (7): D: 16, E: 18
C (10)
D (16): F: 22
E (18)
F (22)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 22

Đáp số

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms