Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian khấu hao của việc thêm phần tử vào cuối một mảng động nhân đôi dung lượng khi đầy là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Đường đi đơn ngắn nhất có thể tìm trong thời gian đa thức. Điều gì được biết về việc tìm đường đi đơn dài nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị tổng quát?

  1. ANó có thể giải bằng thuật toán Dijkstra với trọng số đổi dấu
  2. BNó là NP-khó
  3. CNó luôn giải được trong O(V + E)
  4. DNó bất khả quyết định
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một hàng đợi được cài đặt bằng hai ngăn xếp: đẩy vào ngăn xếp "vào", và lấy ra từ ngăn xếp "ra", nạp lại từ "vào" khi nó rỗng. Chi phí khấu hao mỗi thao tác là bao nhiêu?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc nào cho phép tính giá trị lớn nhất của mọi cửa sổ kích thước k trong mảng với tổng thời gian O(n)?

  1. AMột đống min được xây lại cho mỗi cửa sổ
  2. BMột danh sách liên kết đơn gồm các phần tử của cửa sổ
  3. CMột mảng đã sắp xếp được cập nhật bằng dịch chuyển
  4. DMột deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ D đến E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Việc sao chép tất cả phần tử chỉ xảy ra ở các lũy thừa của hai; trải ra trên mọi lần thêm, chi phí trung bình mỗi lần thêm là hằng số.

Đáp số

A · O(1)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Nó là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

Một đường đi đơn dài nhất có độ dài V − 1 là một đường đi Hamilton, một bài toán NP-đầy đủ; tuy nhiên, trên đồ thị có hướng không chu trình, nó giải được trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

B · Nó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phần tử được đẩy và lấy ra tối đa hai lần tổng cộng, nên dù một lần nạp lại có thể tốn O(n), trung bình trên một chuỗi thao tác là O(1).

Đáp số

B · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần

Vì sao đây là đáp án

Phần đầu của deque luôn là giá trị lớn nhất của cửa sổ; mỗi chỉ số vào và rời deque một lần, nên công việc là tuyến tính.

Đáp số

D · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Thêm một bước

(M³)DE = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms