Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + n log n có nghiệm là gì?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao duyệt mảng thường nhanh hơn nhiều trong thực tế so với duyệt danh sách liên kết cùng độ dài?

  1. ADanh sách liên kết luôn lưu phần tử trên đĩa
  2. BCác phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU
  3. CDuyệt mảng tổng cộng là O(1) còn duyệt danh sách liên kết là O(n)
  4. DMảng dùng ít lệnh hơn để so sánh giá trị
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chèn một khóa vào cây AVL làm cây con trái của một nút quá cao, và khóa mới đi vào cây con trái của con trái của nó (trường hợp trái-trái). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. AMột phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
  2. BXoay trái tại nút con, rồi xoay phải tại nút
  3. CMột phép xoay trái đơn tại nút mất cân bằng
  4. DTô lại màu nút và con của nó
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K4 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K4
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1062710722142ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 3; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

D · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Θ(n log² n)

Vì sao đây là đáp án

Tầng k thực hiện khoảng n log(n / 2ᵏ) công việc, và cộng trên log n tầng cho Θ(n log² n), trường hợp hai mở rộng của định lý chủ.

Đáp số

D · Θ(n log² n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Các phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU

Vì sao đây là đáp án

Bộ nhớ liền kề cho tính cục bộ tham chiếu tốt, trong khi các nút liên kết có thể rải rác và gây nhiều lần trượt bộ nhớ đệm.

Đáp số

B · Các phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng

Vì sao đây là đáp án

Trong trường hợp trái-trái, một phép xoay phải nâng con trái lên và khôi phục cân bằng; các trường hợp zig-zag cần xoay kép.

Đáp số

A · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Đáp số

H = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 10, C: 6
2. C (6): B: 8, E: 16, G: 20
3. B (8): D: 15, G: 10
4. G (10): D: 12
5. D (12)
6. E (16): F: 18
7. F (18)

vòng 3

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms