Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

  1. AChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  2. BChọn hoạt động ngắn nhất trước
  3. CChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
  4. DChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Cận nào là đúng cho log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Thuật toán Dijkstra dùng kiểu dữ liệu trừu tượng nào để chọn đỉnh kế tiếp cần xử lý?

  1. AHàng đợi ưu tiên min
  2. BNgăn xếp
  3. CHàng đợi FIFO
  4. DMột tập không có thứ tự
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc dữ liệu nào hỗ trợ bộ nhớ đệm LRU (ít được dùng gần đây nhất) với get và put O(1)?

  1. AMột mảng đã sắp xếp đơn lẻ
  2. BChỉ một ngăn xếp
  3. CChỉ một cây tìm kiếm nhị phân
  4. DMột bảng băm kết hợp với danh sách liên kết đôi
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
11971451210ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 3; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

A · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Θ(n log n)

Vì sao đây là đáp án

log(n!) ≤ n log n, và n / 2 thừa số lớn nhất cho log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); đó là lý do sắp xếp dựa trên so sánh cần Ω(n log n).

Đáp số

D · Θ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Hàng đợi ưu tiên min

Vì sao đây là đáp án

Hàng đợi ưu tiên min, thường là đống nhị phân, trả về hiệu quả đỉnh chưa thăm có khoảng cách nhỏ nhất.

Đáp số

A · Hàng đợi ưu tiên min
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Một bảng băm kết hợp với danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Bảng băm tìm nút trong O(1) và danh sách liên kết đôi chuyển phần tử vừa truy cập lên đầu và loại bỏ ở cuối trong O(1).

Đáp số

D · Một bảng băm kết hợp với danh sách liên kết đôi
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 20

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 40 = 2(L + 11) − 2
L = 20

Đáp số

L = 20

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 11, C: 9
2. C (9): E: 13
3. B (11): D: 12
4. D (12)
5. E (13): F: 25
6. F (25)

vòng 3

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms