Phương trình vi phân: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Phương pháp số

Phương pháp chia đôi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Nội suy tuyến tính: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Chặn sai số hình thang: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Phương pháp

Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.

2Bài tập

1.Phương trình vi phânTrung bình

Một chi tiết thép rèn ở 460 °C được để nguội trong xưởng có nhiệt độ 23 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Với k = 0,05 min⁻¹, tìm nhiệt độ T sau 33 phút.

T₀ = 460 °CT_a = 23 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 33 min

T = °C

2.Phương trình vi phânKhó

Giải y″ + 3y′ + 27,25y = 0 với y(0) = 3 và y′(0) = 0 (thả từ trạng thái nghỉ). Tìm y(0,25); góc tính theo radian.

y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.25) =

3.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₀² x·cos x dx (x tính theo radian).

∫₀² x·cos x dx

I =

4.Tích phânKhó

Tính I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

5.Đạo hàmTrung bình

Cho f(x) = (2x − 1)⁴. Tìm f′(−1).

f(x) = (2x − 1)⁴x = −1

f′(−1) =

6.Đạo hàmKhó

Tiếp tuyến của f(x) = 3x² − 3x + 4 tại x = 2 cắt trục y tại y = b. Tìm b.

f(x) = 3x² − 3x + 4x = 2

b =

7.Phương pháp sốTrung bình

Quy tắc hình thang được dùng cho ∫₀¹ x³ dx. Sai số nhiều nhất là (b − a)³·M/(12n²) với M = max|f″| trên [0, 1]. Hãy tìm số dải nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Phương pháp sốKhó

Hãy thực hiện một bước của phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) với h = 0,2 cho y′ = e^−ty, y(0) = 0. Hãy tìm y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,2

y₁ =

3Dung dịch

1.Phương trình vi phân

Đáp số: T = 106,9 °C

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Nghiệm của định luật làm nguội

T(t) = 23 + 437·e^−0,05t

Thay t

T(33) = 23 + 437·0,192 = 106,9 °C

Đáp số

T = 106,9 °C

2.Phương trình vi phân

Đáp số: y(0.25) = 1,237

Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = e^rt: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·e^rt (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.

Các nghiệm phức

r = −1,5 ± 5j

Các hằng số

A = 3, B = 1,5·3/5 = 0,9

Tính giá trị

y(0,25) = e^−0,375(3·cos 1,25 + 0,9·sin 1,25) = 1,237

Đáp số

y(0,25) = 1,237

3.Tích phân

Đáp số: I = 0,4024

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Nguyên hàm

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Giới hạn

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Đáp số

I = 0,4024

4.Tích phân

Đáp số: I = 0,0609

Lần thứ nhất

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Lần thứ hai

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Giới hạn

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Đáp số

I = 0,0609

5.Đạo hàm

Đáp số: f′(−1) = −216

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc dây chuyền

f′(x) = 4·(2x − 1)³·2

Thay giá trị

f′(−1) = 4·(−3)³·2 = −216

Đáp số

f′(−1) = −216

6.Đạo hàm

Đáp số: b = −8

Điểm và hệ số góc

f(2) = 10

f′(x) = 6x − 3 → f′(2) = 9

Tiếp tuyến tại x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 9·2 = −8

Đáp số

b = −8

7.Phương pháp số

Đáp số: n = 224

Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.

Chặn của đạo hàm cấp hai

M = 6·1 = 6

Giải tìm n

n² > 1·6/(12·1 × 10⁻⁵) = 50000

n > 223,6 → n = 224

Đáp số

n = 224

8.Phương pháp số

Đáp số: y₁ = 0,1974

Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.

Bốn độ dốc

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,1, 0,1) = 0,99005

k₃ = f(0,1, 0,099005) = 0,990148

k₄ = f(0,2, 0,19803) = 0,961168

Kết hợp

y₁ = 0 + (0,2/6)(1 + 2·0,99005 + 2·0,990148 + 0,961168) = 0,1974

Đáp số

y₁ = 0,1974

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations