Phương trình vi phân
- Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Chu kỳ bán rã
- k = ln 2 / t½
- Định luật làm nguội Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Thừa số tích phân
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Bể trộn
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Phương trình vi phân: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Tích phân
- Quy tắc lũy thừa
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Tích phân xác định
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Các tích phân thường gặp
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Diện tích giữa các đường cong
- ∫ab (f − g) dx
Phương pháp
- Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
- Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
- Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
- Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Đạo hàm
- Quy tắc lũy thừa
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Quy tắc tích
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quy tắc thương
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Quy tắc dây chuyền
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Các đạo hàm thường gặp
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Phương pháp
- Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
- Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
- Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
- Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.
Phương pháp số
- Phương pháp chia đôi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Nội suy tuyến tính
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Quy tắc hình thang
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Quy tắc Simpson (n chẵn)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Chặn sai số hình thang
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Phương pháp
- Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
- Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
- Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
- Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.
2Bài tập
1.Phương trình vi phânTrung bình
Một lon nước ngọt ở 3 °C được lấy từ tủ lạnh ra phòng có nhiệt độ 22 °C. Sau 15 phút, nhiệt độ của nó là 10 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sau khi bắt đầu bao lâu, t, thì đạt tới 17 °C?
T0 = 3 °CTa = 22 °CT(15) = 10 °CT = 17 °C
t = min
2.Phương trình vi phânKhó
Một bể chứa 500 L nước tinh khiết. Nước muối với 0,1 kg muối mỗi lít chảy vào với tốc độ 2 L/min, và dung dịch đã trộn đều chảy ra với cùng tốc độ. Sau bao nhiêu phút t thì bể chứa 30 kg muối?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
3.Tích phânTrung bình
Tính I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
4.Tích phânKhó
Tìm diện tích A của miền giữa parabol y = 1 − x² và trục x.
y = 1 − x²
A =
5.Đạo hàmTrung bình
Cho f(x) = x3·e−x. Tìm f′(0,5).
f(x) = x3·e−xx = 0,5
f′(0.5) =
6.Đạo hàmKhó
Tiếp tuyến của f(x) = 3x2 − 3x tại x = −2 cắt trục y tại y = b. Tìm b.
f(x) = 3x2 − 3xx = −2
b =
7.Phương pháp sốTrung bình
Hãy xấp xỉ ∫01,5 1/(1 + x³) dx bằng quy tắc hình thang với n = 5 dải. Hãy cho T.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 5
T =
8.Phương pháp sốKhó
Hãy thực hiện một bước của phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) với h = 0,5 cho y′ = t² + y², y(0) = 1. Hãy tìm y₁ ≈ y(0,5).
y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,5
y1 =
3Dung dịch
1.Phương trình vi phân
Đáp số: t = 43,58 min
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Hằng số làm nguội
k = ln(-19/-12)/15 = 0,03064 min⁻¹
Thời gian để đạt giá trị mục tiêu
t = ln(-19/(−5))/0,03064 = 43,58 min
Đáp số
t = 43,58 min
2.Phương trình vi phân
Đáp số: t = 229,1 min
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Kết quả
m(t) = 50 + (−50)·e−t/250
Giải tìm t
e−t/250 = (50 − 30)/(50 − 0) = 0,4
t = 250·ln(2,5) = 229,1 min
Đáp số
t = 229,1 min
3.Tích phân
Đáp số: I = 1,5
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Phép đổi biến
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du
Lấy tích phân và tính giá trị
I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1,5
Đáp số
I = 1,5
4.Tích phân
Đáp số: A = 1,333
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Các nghiệm
1 − x² = 0 → x = ±1
Lấy tích phân
A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333
Đáp số
A = 1,333
5.Đạo hàm
Đáp số: f′(0.5) = 0,3791
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
Quy tắc tích
f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)
Thay giá trị
f′(0,5) = 0,6065·(0,75 + (−0,125)) = 0,3791
Đáp số
f′(0,5) = 0,3791
6.Đạo hàm
Đáp số: b = −12
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
Điểm và hệ số góc
f(−2) = 18
f′(x) = 6x − 3 → f′(−2) = −15
Tiếp tuyến tại x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − (−15)·(−2) = −12
Đáp số
b = −12
7.Phương pháp số
Đáp số: T = 1,007
Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.
Các nút và giá trị
h = 0,3
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,97371 + 2·0,822368 + 2·0,578369 + 2·0,366569 + 0,228571 = 6,710604
Quy tắc hình thang
T = (0,3/2)·6,710604 = 1,007
Đáp số
T = 1,007
Tích phân này không có nguyên hàm sơ cấp, đúng là lúc cần một quy tắc số.
8.Phương pháp số
Đáp số: y1 = 2,055
Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.
Bốn độ dốc
k₁ = f(0, 1) = 1
k₂ = f(0,25, 1,25) = 1,625
k₃ = f(0,25, 1,40625) = 2,040039
k₄ = f(0,5, 2,02002) = 4,330479
Kết hợp
y₁ = 1 + (0,5/6)(1 + 2·1,625 + 2·2,040039 + 4,330479) = 2,055
Đáp số
y1 = 2,055
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations