Phương trình vi phân
- Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Chu kỳ bán rã
- k = ln 2 / t½
- Định luật làm nguội Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Thừa số tích phân
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Bể trộn
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Phương trình vi phân: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Tích phân
- Quy tắc lũy thừa
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Tích phân xác định
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Các tích phân thường gặp
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Diện tích giữa các đường cong
- ∫ab (f − g) dx
Phương pháp
- Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
- Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
- Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
- Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Đạo hàm
- Quy tắc lũy thừa
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Quy tắc tích
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quy tắc thương
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Quy tắc dây chuyền
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Các đạo hàm thường gặp
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Phương pháp
- Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
- Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
- Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
- Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.
Phương pháp số
- Phương pháp chia đôi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Nội suy tuyến tính
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Quy tắc hình thang
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Quy tắc Simpson (n chẵn)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Chặn sai số hình thang
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Phương pháp
- Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
- Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
- Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
- Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.
2Bài tập
1.Phương trình vi phânTrung bình
Một chi tiết thép rèn ở 500 °C được để nguội trong xưởng có nhiệt độ 29 °C. Sau 55 phút, nhiệt độ của nó là 186 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Tìm hằng số k theo min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 29 °CT(55) = 186 °C
k = min⁻¹
2.Phương trình vi phânKhó
Giải bài toán giá trị ban đầu y′ + 2y/x = 4x với x > 0, y(1) = 4. Tìm y(3).
y′ + 2y/x = 4xy(1) = 4
y(3) =
3.Tích phânTrung bình
Tính I = ∫₀2 x·sin x dx (x tính theo radian).
∫₀2 x·sin x dx
I =
4.Tích phânKhó
Tính I = ∫₀0,5 x²·eˣ dx.
∫₀0,5 x²eˣ dx
I =
5.Đạo hàmTrung bình
Cho f(x) = x·sin(x), với x theo radian. Tìm f′(1).
f(x) = x·sin(x)x = 1 rad
f′(1) =
6.Đạo hàmKhó
Tiếp tuyến của f(x) = x2 + x − 1 tại x = 2 cắt trục y tại y = b. Tìm b.
f(x) = x2 + x − 1x = 2
b =
7.Phương pháp sốTrung bình
Hãy xấp xỉ ∫02 x³ dx bằng quy tắc hình thang, n = 4, và so sánh với giá trị chính xác. Hãy tìm sai số tuyệt đối |E| = |T − I|.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 4
|E| =
8.Phương pháp sốKhó
Hãy dùng phương pháp Euler với h = 0,2 cho y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 để ước lượng y3 ≈ y(0,6).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2
y3 =
3Dung dịch
1.Phương trình vi phân
Đáp số: k = 0,01997 min⁻¹
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Tỉ số các hiệu nhiệt độ
e−55k = 157/471
Giải tìm k
k = ln(471/157)/55 = 0,01997 min⁻¹
Đáp số
k = 0,01997 min⁻¹
2.Phương trình vi phân
Đáp số: y(3) = 9,333
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Thừa số tích phân
μ = e∫2/x dx = x2
Lấy tích phân
(x2y)′ = 4x3 → x2y = 4x4/4 + C
Điều kiện ban đầu
4 = 4/4 + C → C = 3
Tính giá trị
y(3) = (4·34/4 + 3)/32 = 9,333
Đáp số
y(3) = 9,333
3.Tích phân
Đáp số: I = 1,742
Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.
Chọn u và dv
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
Nguyên hàm
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
Giới hạn
(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742
Đáp số
I = 1,742
4.Tích phân
Đáp số: I = 0,0609
Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.
Lần thứ nhất
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
Lần thứ hai
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
Giới hạn
1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609
Đáp số
I = 0,0609
5.Đạo hàm
Đáp số: f′(1) = 1,382
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
Quy tắc tích và quy tắc dây chuyền
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
Thay giá trị
f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382
Đáp số
f′(1) = 1,382
6.Đạo hàm
Đáp số: b = −5
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
Điểm và hệ số góc
f(2) = 5
f′(x) = 2x + 1 → f′(2) = 5
Tiếp tuyến tại x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 5·2 = −5
Đáp số
b = −5
7.Phương pháp số
Đáp số: |E| = 0,25
Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.
Giá trị chính xác
I = 4
Quy tắc hình thang
T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 2·1 + 2·3,375 + 8) = 4,25
Sai số
|E| = |4,25 − 4| = 0,25
Đáp số
|E| = 0,25
Sai số tương đối: 6,25%.
8.Phương pháp số
Đáp số: y3 = 0,4856
Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.
Các bước Euler
y₁ = 0,2 + 0,2·(0,36) = 0,272
y₂ = 0,272 + 0,2·(0,470016) = 0,366003
y₃ = 0,366003 + 0,2·(0,598048) = 0,485613
Đồ thị
y3 = 0,4856
Đáp số
y3 = 0,4856
Giá trị chính xác là y(0,6) = 0,538975.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations