Phương trình vi phân: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Phương pháp số

Phương pháp chia đôi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Nội suy tuyến tính: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Chặn sai số hình thang: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Phương pháp

Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.

2Bài tập

1.Phương trình vi phânTrung bình

Một tách cà phê ở 86 °C được để trong phòng có nhiệt độ 23 °C. Sau 14 phút, nhiệt độ của nó là 54 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sau khi bắt đầu bao lâu, t, thì đạt tới 40 °C?

T₀ = 86 °CT_a = 23 °CT(14) = 54 °CT = 40 °C

t = min

2.Phương trình vi phânKhó

Giải y′ + y = 10e^−2t với y(0) = 2. Tìm y(1,5).

y′ + y = 10e^−2ty(0) = 2

y(1.5) =

3.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₂¹⁰ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 10]

I =

4.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = x² và y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

5.Đạo hàmTrung bình

Cho f(x) = x·sin(x), với x theo radian. Tìm f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.Đạo hàmKhó

Tiếp tuyến của f(x) = x² − 5 tại x = −2 cắt trục y tại y = b. Tìm b.

f(x) = x² − 5x = −2

b =

7.Phương pháp sốTrung bình

Hãy xấp xỉ ∫₀¹ x³ dx bằng quy tắc hình thang, n = 2, và so sánh với giá trị chính xác. Hãy tìm sai số tuyệt đối |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Phương pháp sốKhó

Hãy dùng phương pháp Euler với h = 0,25 cho y′ = −0,5y, y(0) = 1 để ước lượng y₅ ≈ y(1,25).

y′ = −0,5yy(0) = 1h = 0,25

y₅ =

3Dung dịch

1.Phương trình vi phân

Đáp số: t = 25,86 min

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Hằng số làm nguội

k = ln(63/31)/14 = 0,05065 min⁻¹

Thời gian để đạt giá trị mục tiêu

t = ln(63/17)/0,05065 = 25,86 min

Đáp số

t = 25,86 min

2.Phương trình vi phân

Đáp số: y(1.5) = 2,18

Thừa số tích phân

μ = e^t

(e^ty)′ = 10e^−t

Nghiệm tổng quát

y = 10/(−1)·e^−2t + C·e^−t = −10·e^−2t + C·e^−t

Điều kiện ban đầu

2 = −10 + C → C = 12

Tính giá trị

y(1,5) = −10·0,04979 + 12·0,2231 = 2,18

Đáp số

y(1,5) = 2,18

3.Tích phân

Đáp số: I = 4,828

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Nguyên hàm

F(x) = 3·ln x

Tính tại các cận

I = 3·(ln 10 − ln 2) = 3·ln 5 = 4,828

Đáp số

I = 4,828

4.Tích phân

Đáp số: A = 1,333

Các giao điểm

x² = 2x → x = 0, x = 2

Lấy tích phân của trên trừ dưới

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Đáp số

A = 1,333

5.Đạo hàm

Đáp số: f′(1.5) = 1,104

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc tích và quy tắc dây chuyền

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Thay giá trị

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Đáp số

f′(1,5) = 1,104

6.Đạo hàm

Đáp số: b = −9

Điểm và hệ số góc

f(−2) = −1

f′(x) = 2x → f′(−2) = −4

Tiếp tuyến tại x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−4)·(−2) = −9

Đáp số

b = −9

7.Phương pháp số

Đáp số: |E| = 0,0625

Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.

Giá trị chính xác

I = 0,25

Quy tắc hình thang

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Sai số

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Đáp số

|E| = 0,0625

Sai số tương đối: 25%.

8.Phương pháp số

Đáp số: y₅ = 0,5129

Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.

Các bước Euler

y₁ = 1 + 0,25·(−0,5) = 0,875

y₂ = 0,875 + 0,25·(−0,4375) = 0,765625

y₃ = 0,765625 + 0,25·(−0,382813) = 0,669922

y₄ = 0,669922 + 0,25·(−0,334961) = 0,586182

y₅ = 0,586182 + 0,25·(−0,293091) = 0,512909

Đồ thị

y₅ = 0,5129

Đáp số

y₅ = 0,5129

Giá trị chính xác là y(1,25) = 0,535261.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations