Phương trình vi phân: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Phương pháp số

Phương pháp chia đôi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Nội suy tuyến tính: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Chặn sai số hình thang: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Phương pháp

Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.

2Bài tập

1.Phương trình vi phânTrung bình

Một chi tiết thép rèn ở 360 °C được để nguội trong xưởng có nhiệt độ 25 °C. Sau 42 phút, nhiệt độ của nó là 87 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Tìm hằng số k theo min⁻¹.

T₀ = 360 °CT_a = 25 °CT(42) = 87 °C

k = min⁻¹

2.Phương trình vi phânKhó

Giải bài toán giá trị ban đầu y′ + 3y/x = 6x² với x > 0, y(1) = 5. Tìm y(2).

y′ + 3y/x = 6x²y(1) = 5

y(2) =

3.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

4.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = 0,5x² và y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

5.Đạo hàmTrung bình

Cho f(x) = x·e^0,5x. Tìm f′(1,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.Đạo hàmKhó

Tiếp tuyến của f(x) = −x² − 6 tại x = 1 cắt trục y tại y = b. Tìm b.

f(x) = −x² − 6x = 1

b =

7.Phương pháp sốTrung bình

Quy tắc hình thang được dùng cho ∫₀² sin x dx. Sai số nhiều nhất là (b − a)³·M/(12n²) với M = max|f″| trên [0, 2]. Hãy tìm số dải nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Phương pháp sốKhó

Hãy dùng phương pháp Heun (Euler cải tiến) với h = 0,2 cho y′ = t + y, y(0) = 0,5 để ước lượng y₃ ≈ y(0,6).

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,2

y₃ =

3Dung dịch

1.Phương trình vi phân

Đáp số: k = 0,04017 min⁻¹

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Tỉ số các hiệu nhiệt độ

e^−42k = 62/335

Giải tìm k

k = ln(335/62)/42 = 0,04017 min⁻¹

Đáp số

k = 0,04017 min⁻¹

2.Phương trình vi phân

Đáp số: y(2) = 8,5

Thừa số tích phân

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Lấy tích phân

(x³y)′ = 6x⁵ → x³y = 6x⁶/6 + C

Điều kiện ban đầu

5 = 6/6 + C → C = 4

Tính giá trị

y(2) = (6·2⁶/6 + 4)/2³ = 8,5

Đáp số

y(2) = 8,5

3.Tích phân

Đáp số: I = 14,12

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Nguyên hàm

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Giới hạn

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Đáp số

I = 14,12

4.Tích phân

Đáp số: A = 42,67

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Các giao điểm

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Lấy tích phân của trên trừ dưới

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Đáp số

A = 42,67

5.Đạo hàm

Đáp số: f′(1.5) = 3,705

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc tích

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Thay giá trị

f′(1,5) = 2,117·(1 + 0,75) = 3,705

Đáp số

f′(1,5) = 3,705

6.Đạo hàm

Đáp số: b = −5

Điểm và hệ số góc

f(1) = −7

f′(x) = −2x → f′(1) = −2

Tiếp tuyến tại x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − (−2)·1 = −5

Đáp số

b = −5

7.Phương pháp số

Đáp số: n = 259

Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.

Chặn của đạo hàm cấp hai

M = |sin(π/2)| = 1

Giải tìm n

n² > 8·1/(12·1 × 10⁻⁵) = 66667

n > 258,2 → n = 259

Đáp số

n = 259

8.Phương pháp số

Đáp số: y₃ = 1,124

Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.

Các bước Heun

y₁ = 0,5 + (0,2/2)(0,5 + 0,8) = 0,63

y₂ = 0,63 + (0,2/2)(0,83 + 1,196) = 0,8326

y₃ = 0,8326 + (0,2/2)(1,2326 + 1,67912) = 1,123772

Đồ thị

y₃ = 1,124

Đáp số

y₃ = 1,124

Giá trị chính xác là y(0,6) = 1,133178.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations