Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Phép kiểm định nào so sánh hai nhóm độc lập khi dữ liệu là thứ bậc hoặc rõ ràng không chuẩn?
- AKiểm định hạng dấu Wilcoxon
- BKiểm định t mẫu độc lập
- CKiểm định Mann–Whitney U
- DKiểm định chi bình phương
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Phép kiểm định phi tham số nào so sánh hai mẫu liên quan, chẳng hạn điểm trước và sau trên thang thứ bậc?
- AKiểm định chi bình phương về tính độc lập
- BKiểm định t độc lập
- CKiểm định Mann–Whitney U
- DKiểm định hạng dấu Wilcoxon
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 15, 11, 52, 42, 14, 52, 48.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 88.
μ = 100σ = 12x = 88
z =
5.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 7 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 7
P =
6.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 11 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 2 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 11p = 0,5k = 2
P =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 33,3 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 12 phần tử có trung bình 120 và độ lệch chuẩn s = 2. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 12x̄ = 120s = 299%t(11) = 3,106
E =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 32. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?
σ = 32E = 390%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 100; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 25. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 quan sát có trung bình 102,6. Kiểm định H₀: μ = 100 với H₁: μ ≠ 100. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 100σ = 25n = 100x̄ = 102,6H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 121,5. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 121,5σ = 10n = 1690%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 25?
n = 5ŷ = 25
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1802 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 4 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 4
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Kiểm định Mann–Whitney U
Vì sao đây là đáp án
Kiểm định Mann–Whitney U so sánh các hạng giữa hai nhóm không liên quan. Kiểm định hạng dấu Wilcoxon dành cho các mẫu liên quan.
Đáp số
C · Kiểm định Mann–Whitney U
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Kiểm định hạng dấu Wilcoxon
Vì sao đây là đáp án
Kiểm định hạng dấu Wilcoxon dành cho dữ liệu thứ bậc theo cặp; Mann–Whitney U là phép kiểm định tương ứng cho các nhóm độc lập.
Đáp số
D · Kiểm định hạng dấu Wilcoxon
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 19,13
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 234/7 = 33,43
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−18,43)² + (−22,43)² + 18,57² + 8,571² + (−19,43)² + 18,57² + 14,57² = 2196
Độ lệch chuẩn
s = √(2196/6) = 19,13
Đáp số
s = 19,13
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −1
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (88 − 100)/12 = −1
Đáp số
z = −1
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,7209
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Đáp số
P = 0,7209
6.Xác suất
Đáp số: P = 0,02686
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 2) = 55·0,52·0,59 = 55·0,25·0,001953 = 0,02686
Đáp số
P = 0,02686
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,3015
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Đuôi trên
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Đáp số
P = 0,3015
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 473 h
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Quay lại x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Đáp số
x = 473,02 h
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 1,793
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Sai số biên
E = 3,106·2/√12 = 1,793
Đáp số
E = 1,793
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 308
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·32/3)² = 307,9
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 308
Đáp số
n = 308
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,2983
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (102,6 − 100)/2,5 = 1,04
Diện tích đuôi
Φ(1,04) = 0,8508
1 − Φ(1,04) = 0,1492
Giá trị p
p = 2·0,1492 = 0,2983
Đáp số
p = 0,2983
p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 125,6
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·10/√16 = 4,112
Giới hạn của khoảng
U = 121,5 + 4,112 = 125,6
Đáp số
U = 125,6
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9782
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 120/5 = 24
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Syy = Σ(y − ȳ)² = 638
Hệ số xác định
r² = 158²/(40·638) = 0,9782
Đáp số
r² = 0,9782
Khoảng 97,82% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 6,839
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 112/5 = 22,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Đường hồi quy
b = 124/40 = 3,1
a = 22,4 − 3,1·6 = 3,8
ŷ = 3,8 + 3,1·x
Giải tìm x
x = (25 − 3,8)/3,1 = 6,839
Đáp số
x = 6,839
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 5,575
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 60·36/180 = 12, 60·54/180 = 18, 60·90/180 = 30
nhân viên: 120·36/180 = 24, 120·54/180 = 36, 120·90/180 = 60
Thống kê chi bình phương
χ² = (11 − 12)²/12 + (12 − 18)²/18 + (37 − 30)²/30 + (25 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (53 − 60)²/60
χ² = 5,575
Đáp số
χ² = 5,575
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 2
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 4 − 1 − 1 = 2
Đáp số
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology