Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Trong phân phối chuẩn, khoảng bao nhiêu phần trăm số điểm nằm trong phạm vi một độ lệch chuẩn quanh giá trị trung bình?
- A99,7%
- B50%
- C68%
- D95%
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Tăng cỡ mẫu trong một nghiên cứu trực tiếp nhất sẽ:
- ATăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
- BLoại bỏ mọi thiên lệch khỏi mẫu
- CTăng độ lớn hiệu ứng
- DĐảm bảo có kết quả có ý nghĩa thống kê nếu có bất kỳ hiệu ứng nào tồn tại
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 45, 20, 15, 60, 11.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 72,5 là bao nhiêu?
μ = 50σ = 15x = 72,5
P =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,1, 0,2
σ =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €5 với xác suất 0,1 và €20 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €1€5: p = 0,1€20: p = 0,05
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,6217. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,6217
z =
8.Phân phối chuẩnKhó
khối lượng các túi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Kéo ngưỡng sao cho 80% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 15 phần tử có trung bình 104,5 và độ lệch chuẩn s = 7,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 15x̄ = 104,5s = 7,599%t(14) = 2,977
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 30 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 4,1 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 29, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 16,047 và 2,5% nằm trên 45,722.
n = 30s = 4,1 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 6 học sinh, điểm trung bình 83, độ lệch chuẩn 5. Nhóm 2: 8 học sinh, điểm trung bình 84,4, độ lệch chuẩn 2,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 6x̄₁ = 83s₁ = 5n₂ = 8x̄₂ = 84,4s₂ = 2,5
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 494,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 494,3σ = 10n = 1699%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1402 × 2
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 8 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 8
df =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · 68%
Vì sao đây là đáp án
Khoảng 68% số điểm nằm trong ±1 SD, khoảng 95% trong ±2 SD và khoảng 99,7% trong ±3 SD.
Đáp số
C · 68%
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
Vì sao đây là đáp án
Mẫu lớn hơn làm giảm sai số chuẩn, tăng lực thống kê. Chúng không thay đổi độ lớn hiệu ứng thực sự hay loại bỏ thiên lệch hệ thống.
Đáp số
A · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 21,28
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 151/5 = 30,2
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 14,8² + (−10,2)² + (−15,2)² + 29,8² + (−19,2)² = 1811
Độ lệch chuẩn
s = √(1811/4) = 21,28
Đáp số
s = 21,28
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,9332
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
5.Xác suất
Đáp số: σ = 1,284
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,95
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,45
Phương sai
Var(X) = 5,45 − 1,95² = 1,648
σ = √1,648 = 1,284
Đáp số
σ = 1,284
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 0,5 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 4 (p = 0,1), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 4·0,1 + 19·0,05 − 1·0,85 = 0,5 €
Đáp số
E(G) = 0,5 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = −0,31
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = 1 − 0,6217 = 0,3783
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,3783 bên trong bảng và đọc ra z.
z = −0,31
Đáp số
z = −0,31
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 254,2 g
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,8
z từ bảng
z ≈ 0,84
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g
Đáp số
x = 254,2 g
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 98,74
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Sai số biên
E = 2,977·7,5/√15 = 5,765
Khoảng
104,5 ± 5,765 → [98,74, 110,3]
Đáp số
giới hạn dưới = 98,74
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 5,512 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 29·4,1² = 487,5
Các giới hạn cho σ²
487,5/45,722 = 10,66
487,5/16,047 = 30,38
Giới hạn cho σ
σ = √30,38 = 5,512 µm
Đáp số
σ = 5,512 µm
Khoảng 95% cho σ: [3,265, 5,512] µm.
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,6913
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (5·5² + 7·2,5²)/12 = 14,06
sp = 3,75
Sai số chuẩn
SE = 3,75·√(1/6 + 1/8) = 2,025
Thống kê kiểm định
t = (83 − 84,4)/2,025 = −0,6913
Đáp số
t = −0,6913
Với df = 12, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,179; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 500,7
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·10/√16 = 6,44
Giới hạn của khoảng
U = 494,3 + 6,44 = 500,7
Đáp số
U = 500,7
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,7464
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 213/5 = 42,6
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 225,2
Hệ số xác định
r² = 41²/(10·225,2) = 0,7464
Đáp số
r² = 0,7464
Khoảng 74,64% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 23,15
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Đường hồi quy
b = −21/10 = −2,1
a = 20 − (−2,1)·3 = 26,3
ŷ = 26,3 − 2,1·x
Dự đoán
ŷ = 26,3 + (−2,1)·1,5 = 23,15
Đáp số
ŷ = 23,15
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 5
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
người hút thuốc: 80·42/140 = 24, 80·98/140 = 56
người không hút thuốc: 60·42/140 = 18, 60·98/140 = 42
Thống kê chi bình phương
χ² = (18 − 24)²/24 + (62 − 56)²/56 + (24 − 18)²/18 + (36 − 42)²/42
χ² = 5
Đáp số
χ² = 5
df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 6
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 8 − 1 − 1 = 6
Đáp số
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology