Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Thiết kế nào dùng những người tham gia khác nhau trong mỗi điều kiện?
- AThiết kế nhóm độc lập
- BThiết kế trong từng đối tượng
- CThiết kế cặp tương xứng với cùng những người
- DThiết kế đo lặp lại
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nhà nghiên cứu đo tác động của tiếng ồn lên sự tập trung. Người tham gia ở điều kiện có tiếng ồn tình cờ được kiểm tra vào buổi sáng còn điều kiện yên tĩnh vào buổi chiều. Vấn đề là gì?
- ANghiên cứu có quá nhiều điều kiện
- BThời điểm trong ngày là biến phụ thuộc
- CThời điểm trong ngày là một biến gây nhiễu
- DDữ liệu ở mức danh nghĩa
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 38, 54, 53, 60, 22.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 140 là bao nhiêu?
μ = 170σ = 20x = 140
P =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,35
σ =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €50 với xác suất 0,25 và €200 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €10€50: p = 0,25€200: p = 0,01
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 28,3 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 28,3 min
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 15 phần tử có trung bình 95,5 và độ lệch chuẩn s = 12. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
n = 15x̄ = 95,5s = 1295%t(14) = 2,145
E =
10.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 6 ô, năng suất trung bình 84 kg, độ lệch chuẩn 4 kg. Nhóm ô 2: 6 ô, trung bình 89 kg, độ lệch chuẩn 1,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 84s₁ = 4n₂ = 6x̄₂ = 89s₂ = 1,599%t(10) = 3,169
giới hạn trên = kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 202,4 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202,4s = 10n = 25
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ < 50 được thực hiện ở mức α = 0.10 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 49.3. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 50μ = 49,3σ = 5n = 100α = 0,10
1 − β = %
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 33Σy = 498Σx² = 199Σy² = 42484Σxy = 2878
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 18,5.
n = 5x = 18,5
ŷ =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “ca ngày, nhẹ”.
tổng hàng = 83tổng cột = 79N = 205
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 6 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Thiết kế nhóm độc lập
Vì sao đây là đáp án
Trong thiết kế nhóm độc lập, mỗi điều kiện có những người tham gia khác nhau, tránh được hiệu ứng thứ tự nhưng có nguy cơ về biến người tham gia.
Đáp số
A · Thiết kế nhóm độc lập
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Thời điểm trong ngày là một biến gây nhiễu
Vì sao đây là đáp án
Vì tiếng ồn và thời gian kiểm tra thay đổi cùng nhau, mọi khác biệt có thể do một trong hai. Phân bổ ngẫu nhiên thời gian kiểm tra hoặc giữ cố định thời gian sẽ loại bỏ yếu tố gây nhiễu.
Đáp số
C · Thời điểm trong ngày là một biến gây nhiễu
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 15,39
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 227/5 = 45,4
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−7,4)² + 8,6² + 7,6² + 14,6² + (−23,4)² = 947,2
Độ lệch chuẩn
s = √(947,2/4) = 15,39
Đáp số
s = 15,39
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,9332
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
5.Xác suất
Đáp số: σ = 1,152
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,65
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,35 = 8,35
Phương sai
Var(X) = 8,35 − 2,65² = 1,327
σ = √1,327 = 1,152
Đáp số
σ = 1,152
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 4,5 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 40 (p = 0,25), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 40·0,25 + 190·0,01 − 10·0,74 = 4,5 €
Đáp số
E(G) = 4,5 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9306
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306
Đáp số
P = 0,9306
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,983
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12
Xác suất
P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983
Đáp số
P = 0,983
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 6,646
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Sai số biên
E = 2,145·12/√15 = 6,646
Đáp số
E = 6,646
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 0,5269 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (5·4² + 5·1,5²)/10 = 9,125
sp = 3,021
Sai số biên
E = 3,169·3,021·√(1/6 + 1/6) = 5,527
Khoảng
−5 ± 5,527 → [−10,53, 0,5269]
Đáp số
giới hạn trên = 0,5269 kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 1,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
Thống kê kiểm định
t = (202,4 − 200)/2 = 1,2
Đáp số
t = 1,2
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 54,7 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 50 − 1,282·0,5 = 49,36
z theo trung bình thật
z = (49,36 − 49,3)/0,5 = 0,118
Công suất
lực của kiểm định = P(Z < 0.118) = 54.7%
1 − β = 54,7%
Đáp số
1 − β = 54,7%
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9798
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 2878 − 33·498/6 = 139
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 42484 − 498²/6 = 1150
Hệ số tương quan
r = 139/√(17,5·1150) = 0,9798
Đáp số
r = 0,9798
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 70,35
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 444/5 = 88,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369
Đường hồi quy
b = 369/90 = 4,1
a = 88,8 − 4,1·23 = −5,5
ŷ = −5,5 + 4,1·x
Dự đoán
ŷ = −5,5 + 4,1·18,5 = 70,35
Đáp số
ŷ = 70,35
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 31,99
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 83·79/205 = 31,99
Đáp số
E = 31,99
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 15,09
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 6 − 1 = 5
Bảng
χ²crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086
Đáp số
χ²crit = 15,086
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology