Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Một nhà nghiên cứu so sánh mức độ hung hăng của trẻ em trước và sau khi truyền hình đến một thị trấn hẻo lánh. Nhà nghiên cứu không kiểm soát việc truyền hình xuất hiện. Đây là:
- AThí nghiệm phòng thí nghiệm
- BThí nghiệm tự nhiên
- CKhảo sát tương quan về việc xem truyền hình
- DThí nghiệm thực địa
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Tăng cỡ mẫu trong một nghiên cứu trực tiếp nhất sẽ:
- ATăng độ lớn hiệu ứng
- BLoại bỏ mọi thiên lệch khỏi mẫu
- CĐảm bảo có kết quả có ý nghĩa thống kê nếu có bất kỳ hiệu ứng nào tồn tại
- DTăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 59, 20, 43, 31, 27.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 40. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 440 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 40x = 440
P =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,25, 0,25
σ =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €50 với xác suất 0,15 và €100 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €10€50: p = 0,15€100: p = 0,05
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 20 và 41,3 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 41,3
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).
μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 8 phần tử có trung bình 103 và độ lệch chuẩn s = 16,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 8x̄ = 103s = 16,599%t(7) = 3,499
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?
σ = 5E = 299%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 80 chi tiết có chiều dài trung bình 134,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 9 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 50 chi tiết có trung bình 135,5 mm, độ lệch chuẩn đã biết 4 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 80x̄₁ = 134,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 50x̄₂ = 135,5 mmσ₂ = 4 mm
z =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 118,9. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 118,9σ = 4n = 1699%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (25,5, 129) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(25,5, 129)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “sinh viên, xe buýt”.
tổng hàng = 67tổng cột = 37N = 150
E =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thực hiện trên bảng tiếp liên có 2 hàng và 2 cột (không tính các tổng). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Thí nghiệm tự nhiên
Vì sao đây là đáp án
Trong thí nghiệm tự nhiên, IV thay đổi do các sự kiện nằm ngoài tầm kiểm soát của nhà nghiên cứu. Độ giá trị sinh thái cao, nhưng không thể phân bổ ngẫu nhiên.
Đáp số
B · Thí nghiệm tự nhiên
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
Vì sao đây là đáp án
Mẫu lớn hơn làm giảm sai số chuẩn, tăng lực thống kê. Chúng không thay đổi độ lớn hiệu ứng thực sự hay loại bỏ thiên lệch hệ thống.
Đáp số
D · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 15,33
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 180/5 = 36
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 23² + (−16)² + 7² + (−5)² + (−9)² = 940
Độ lệch chuẩn
s = √(940/4) = 15,33
Đáp số
s = 15,33
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,06681
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Đáp số
P = 0,06681
5.Xác suất
Đáp số: σ = 1,071
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,25 = 2,55
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,25 = 7,65
Phương sai
Var(X) = 7,65 − 2,55² = 1,148
σ = √1,148 = 1,071
Đáp số
σ = 1,071
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = 2,5 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 40 (p = 0,15), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,8)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 40·0,15 + 90·0,05 − 10·0,8 = 2,5 €
Đáp số
E(G) = 2,5 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9167
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,55) − Φ(−2) = 0,9394 − 0,02275 = 0,9167
Đáp số
P = 0,9167
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 36,05 min
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Quay lại x
x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min
Đáp số
x = 36,05 min
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 82,59
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Sai số biên
E = 3,499·16,5/√8 = 20,41
Khoảng
103 ± 20,41 → [82,59, 123,4]
Đáp số
giới hạn dưới = 82,59
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 42
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·5/2)² = 41,47
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 42
Đáp số
n = 42
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −0,8663
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(9²/80 + 4²/50) = √1,333 = 1,154
Thống kê kiểm định
z = (134,5 − 135,5)/1,154 = −0,8663
Đáp số
z = −0,8663
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 121,5
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·4/√16 = 2,576
Giới hạn của khoảng
U = 118,9 + 2,576 = 121,5
Đáp số
U = 121,5
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9465
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 296/5 = 59,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
Syy = Σ(y − ȳ)² = 274,8
Hệ số xác định
r² = 51²/(10·274,8) = 0,9465
Đáp số
r² = 0,9465
Khoảng 94,65% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 5,2
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 490/5 = 98
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 516
Đường hồi quy
b = 516/90 = 5,733
a = 98 − 5,733·21 = −22,4
ŷ = −22,4 + 5,733·x
Giá trị dự đoán
ŷ = −22,4 + 5,733·25,5 = 123,8
Phần dư
e = 129 − 123,8 = 5,2
Đáp số
e = 5,2
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: E = 16,53
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
E = 67·37/150 = 16,53
Đáp số
E = 16,53
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 6,635
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
Bảng
χ²crit(df = 1, α = 0,01) = 6,635
Đáp số
χ²crit = 6,635
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology