Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Cùng 25 người tham gia làm một bài kiểm tra trí nhớ trước và sau khi dùng caffeine. Điểm số là dữ liệu khoảng và xấp xỉ chuẩn. Phép kiểm định nào phù hợp?
- AKiểm định Mann–Whitney U
- BKiểm định t mẫu độc lập
- CKiểm định t mẫu cặp (liên quan)
- DKiểm định chi bình phương
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Tăng cỡ mẫu trong một nghiên cứu trực tiếp nhất sẽ:
- ATăng độ lớn hiệu ứng
- BĐảm bảo có kết quả có ý nghĩa thống kê nếu có bất kỳ hiệu ứng nào tồn tại
- CLoại bỏ mọi thiên lệch khỏi mẫu
- DTăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 21, 21, 13, 28, 19.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 37,5 là bao nhiêu?
μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
5.Xác suấtTrung bình
Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 3 người từ một nhóm 6 người? Thứ tự không quan trọng.
n = 6k = 3
N =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €5 mỗi lượt. Bạn thắng €10 với xác suất 0,2 và €100 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €5€10: p = 0,2€100: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 53,5 và 73 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 73
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 30% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm30%
x = điểm
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 25 phần tử có trung bình 119 và độ lệch chuẩn s = 17,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
n = 25x̄ = 119s = 17,595%t(24) = 2,064
E =
10.Khoảng tin cậyKhó
Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,05?
p = 0,5E = 0,0595%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 48,88 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,88s = 10n = 64
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2? Độ lệch chuẩn là 8. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 8E = 299%
n =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 90Σy = 480Σx² = 1660Σy² = 47710Σxy = 8894
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (6,5, 42) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(6,5, 42)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,05 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 1603 × 2α = 0,05
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Kiểm định t mẫu cặp (liên quan)
Vì sao đây là đáp án
Kiểm định t cặp so sánh giá trị trung bình từ cùng những người tham gia ở hai điều kiện, dùng các hiệu số trong mỗi người.
Đáp số
C · Kiểm định t mẫu cặp (liên quan)
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
Vì sao đây là đáp án
Mẫu lớn hơn làm giảm sai số chuẩn, tăng lực thống kê. Chúng không thay đổi độ lớn hiệu ứng thực sự hay loại bỏ thiên lệch hệ thống.
Đáp số
D · Tăng lực thống kê để phát hiện hiệu ứng có thật
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 5,367
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 102/5 = 20,4
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 0,6² + 0,6² + (−7,4)² + 7,6² + (−1,4)² = 115,2
Độ lệch chuẩn
s = √(115,2/4) = 5,367
Đáp số
s = 5,367
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,9332
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
5.Xác suất
Đáp số: N = 20
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổ hợp
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
Đáp số
N = 20
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = −1 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 5 (p = 0,2), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 5·0,2 + 95·0,02 − 5·0,78 = −1 €
Đáp số
E(G) = −1 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6631
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8
Diện tích ở giữa
P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631
Đáp số
P = 0,6631
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 59,8 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,3
z từ bảng
z ≈ −0,52
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 điểm
Đáp số
x = 59,8 điểm
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 7,224
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Sai số biên
E = 2,064·17,5/√25 = 7,224
Đáp số
E = 7,224
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Giải tìm n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2
Làm tròn lên
n = 385
Đáp số
n = 385
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,896
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Thống kê kiểm định
t = (48,88 − 50)/1,25 = −0,896
Đáp số
t = −0,896
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 107
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (2,576·8/2)² = 106,2
Làm tròn lên
n = 107
Đáp số
n = 107
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9947
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 8894 − 90·480/5 = 254
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 47710 − 480²/5 = 1630
Hệ số tương quan
r = 254/√(40·1630) = 0,9947
Đáp số
r = 0,9947
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 4,557
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 207/6 = 34,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51,5
Đường hồi quy
b = 51,5/17,5 = 2,943
a = 34,5 − 2,943·5,5 = 18,31
ŷ = 18,31 + 2,943·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 18,31 + 2,943·6,5 = 37,44
Phần dư
e = 42 − 37,44 = 4,557
Đáp số
e = 4,557
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 38,27
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
ca ngày: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40
ca đêm: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16
Thống kê chi bình phương
χ² = (36 − 30)²/30 + (40 − 30)²/30 + (24 − 40)²/40 + (6 − 12)²/12 + (2 − 12)²/12 + (32 − 16)²/16
χ² = 38,27
Đáp số
χ² = 38,27
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 2,063
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
dây chuyền 1: 42, 18
dây chuyền 2: 42, 18
dây chuyền 3: 28, 12
Thống kê chi bình phương
χ² = (40 − 42)²/42 + (20 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (14 − 18)²/18 + (26 − 28)²/28 + (14 − 12)²/12
χ² = 2,063
Quyết định
df = 2, χ²crit = 5,991
2,063 < 5,991
Đáp số
χ² = 2,063
χ² nhỏ hơn giá trị tới hạn, nên H₀ không bị bác bỏ: chưa có bằng chứng đáng kể về mối quan hệ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology