Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Thống kê nào phù hợp cho mối quan hệ giữa hai bộ xếp hạng, chẳng hạn xếp hạng các bức tranh của các giám khảo?
- ARho của Spearman
- BKiểm định t độc lập
- Cr của Pearson
- DChi bình phương
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nhà nghiên cứu muốn chứng tỏ một thang đo lo âu mới đo thứ khác với trầm cảm. Tương quan thấp với một thang đo trầm cảm sẽ ủng hộ:
- AĐộ giá trị hội tụ
- BĐộ giá trị phân biệt
- CĐộ giá trị bề ngoài
- DĐộ giá trị dự đoán
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 44, 41, 13, 21, 59, 21.
n = 6
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 60. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 470 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 60x = 470
P =
5.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 7 quả bóng đỏ và 4 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
7 / 4
P =
6.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 6 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 3 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 6p = 0,3k = 3
P =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 99,9 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99,9 s
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 8 phần tử có trung bình 88,5 và độ lệch chuẩn s = 13,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 8x̄ = 88,5s = 13,590%t(7) = 1,895
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 16 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 1,9 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 15, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 6,262 và 2,5% nằm trên 27,488.
n = 16s = 1,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 60 chi tiết có chiều dài trung bình 65,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 14 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 60,6 mm, độ lệch chuẩn đã biết 5 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 60x̄₁ = 65,5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 30x̄₂ = 60,6 mmσ₂ = 5 mm
z =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 3 đơn vị của trung bình với lực 90%. Độ lệch chuẩn là 19. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
α = 0,05lực của kiểm định = 90%δ = 3σ = 19zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 14?
n = 5ŷ = 14
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 5 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Rho của Spearman
Vì sao đây là đáp án
Tương quan hạng Spearman đo độ mạnh của mối quan hệ đơn điệu giữa hai biến được xếp hạng hoặc thứ bậc.
Đáp số
A · Rho của Spearman
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Độ giá trị phân biệt
Vì sao đây là đáp án
Độ giá trị phân biệt (divergent) được chứng tỏ khi một phép đo tương quan yếu với các phép đo về cấu trúc khác. Độ giá trị hội tụ là tương quan cao với các phép đo cùng một cấu trúc.
Đáp số
B · Độ giá trị phân biệt
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 17,6
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 199/6 = 33,17
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 10,83² + 7,833² + (−20,17)² + (−12,17)² + 25,83² + (−12,17)² = 1549
Độ lệch chuẩn
s = √(1549/5) = 17,6
Đáp số
s = 17,6
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,3085
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Đáp số
P = 0,3085
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,3818
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818
Đáp số
P = 0,3818
6.Xác suất
Đáp số: P = 0,1852
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 3) = 20·0,33·0,73 = 20·0,027·0,343 = 0,1852
Đáp số
P = 0,1852
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7881
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Chuẩn hóa
z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8133
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Đáp số
P = 0,8133
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 79,46
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Sai số biên
E = 1,895·13,5/√8 = 9,045
Khoảng
88,5 ± 9,045 → [79,46, 97,54]
Đáp số
giới hạn dưới = 79,46
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 1,404 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 15·1,9² = 54,15
Các giới hạn cho σ²
54,15/27,488 = 1,97
54,15/6,262 = 8,647
Giới hạn cho σ
σ = √1,97 = 1,404 µm
Đáp số
σ = 1,404 µm
Khoảng 95% cho σ: [1,404, 2,941] µm.
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 2,42
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(14²/60 + 5²/30) = √4,1 = 2,025
Thống kê kiểm định
z = (65,5 − 60,6)/2,025 = 2,42
Đáp số
z = 2,42
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 344
Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = ((1,645 + 1,282)·19/3)² = 343,6
Làm tròn lên
n = 344
Đáp số
n = 344
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9741
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 171
Syy = Σ(y − ȳ)² = 428,8
Hệ số xác định
r² = 171²/(70·428,8) = 0,9741
Đáp số
r² = 0,9741
Khoảng 97,41% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 3,621
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 79/5 = 15,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Đường hồi quy
b = −29/10 = −2,9
a = 15,8 − (−2,9)·3 = 24,5
ŷ = 24,5 − 2,9·x
Giải tìm x
x = (14 − 24,5)/(−2,9) = 3,621
Đáp số
x = 3,621
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 26,8
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
ca ngày: 80·80/160 = 40, 80·40/160 = 20, 80·40/160 = 20
ca đêm: 80·80/160 = 40, 80·40/160 = 20, 80·40/160 = 20
Thống kê chi bình phương
χ² = (54 − 40)²/40 + (19 − 20)²/20 + (7 − 20)²/20 + (26 − 40)²/40 + (21 − 20)²/20 + (33 − 20)²/20
χ² = 26,8
Đáp số
χ² = 26,8
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 7,815
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 5 − 1 − 1 = 3
Bảng
χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815
Đáp số
χ²crit = 7,815
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology