Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Để có một mẫu với tỷ lệ sinh viên năm nhất, năm hai và năm ba giống như quần thể sinh viên của trường, nhà nghiên cứu nên dùng:
- AChọn mẫu tình nguyện
- BChọn mẫu quả cầu tuyết
- CChọn mẫu phân tầng
- DChọn mẫu thuận tiện
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nghiên cứu thấy tương quan r = 0,05 giữa chiều cao và IQ chỉ ở các cầu thủ bóng rổ chuyên nghiệp, dù cao hơn trong dân số chung. Điều gì giải thích tốt nhất tương quan yếu này?
- AHiệu ứng trần trong các bài kiểm tra IQ
- BHồi quy về trung bình
- CĐặc điểm yêu cầu
- DHạn chế phạm vi
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 16, 22, 12, 38, 51.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 34 là bao nhiêu?
μ = 50σ = 20x = 34
P =
5.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 3 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
6 / 3
P =
6.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 10. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,3, 0,05Y = 3X + 10
σY =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 98,6 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 98,6 s
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
khối lượng các túi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Kéo ngưỡng sao cho 20% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 13 phần tử có trung bình 13 và độ lệch chuẩn s = 9. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 13x̄ = 13s = 990%t(12) = 1,782
E =
10.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?
σ = 20E = 390%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 107,9 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 107,9s = 15n = 16
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2? Độ lệch chuẩn là 20. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 20E = 295%
n =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 42Σy = 65Σx² = 364Σy² = 845Σxy = 550
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 21) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 21)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,01 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Chọn mẫu phân tầng
Vì sao đây là đáp án
Chọn mẫu phân tầng xác định các nhóm con (tầng) và chọn ngẫu nhiên từ mỗi tầng theo tỷ lệ kích thước của nó trong quần thể, làm mẫu đại diện hơn.
Đáp số
C · Chọn mẫu phân tầng
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: D · Hạn chế phạm vi
Vì sao đây là đáp án
Khi mẫu chỉ bao phủ một phạm vi hẹp của một biến, các tương quan liên quan đến biến đó bị giảm. Các cầu thủ bóng rổ đều cao, nên chiều cao ít thay đổi.
Đáp số
D · Hạn chế phạm vi
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 16,32
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 139/5 = 27,8
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−11,8)² + (−5,8)² + (−15,8)² + 10,2² + 23,2² = 1065
Độ lệch chuẩn
s = √(1065/4) = 16,32
Đáp số
s = 16,32
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,2119
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,8
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Đáp số
P = 0,2119
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,4167
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167
Đáp số
P = 0,4167
6.Xác suất
Đáp số: σY = 3,625
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 1,8, Var(X) = 1,46, σX = 1,208
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |3|·1,208 = 3,625
Đáp số
σY = 3,625
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·1,8 + 10 = 15,4.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Chuẩn hóa
z = (98,6 − 105)/6,403 = −1
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 245,8 g
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,2
z từ bảng
z ≈ −0,84
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g
Đáp số
x = 245,8 g
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 4,448
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Sai số biên
E = 1,782·9/√13 = 4,448
Đáp số
E = 4,448
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 121
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·20/3)² = 120,3
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 121
Đáp số
n = 121
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,107
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Thống kê kiểm định
t = (107,9 − 100)/3,75 = 2,107
Đáp số
t = 2,107
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 385
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (1,96·20/2)² = 384,2
Làm tròn lên
n = 385
Đáp số
n = 385
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9568
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 550 − 42·65/6 = 95
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 845 − 65²/6 = 140,8
Hệ số tương quan
r = 95/√(70·140,8) = 0,9568
Đáp số
r = 0,9568
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = −2,4
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 129/5 = 25,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Đường hồi quy
b = −16/10 = −1,6
a = 25,8 − (−1,6)·3 = 30,6
ŷ = 30,6 − 1,6·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 30,6 + (−1,6)·4,5 = 23,4
Phần dư
e = 21 − 23,4 = −2,4
Đáp số
e = −2,4
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 2,178
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 40·32/160 = 8, 40·48/160 = 12, 40·80/160 = 20
nhân viên: 120·32/160 = 24, 120·48/160 = 36, 120·80/160 = 60
Thống kê chi bình phương
χ² = (6 − 8)²/8 + (10 − 12)²/12 + (24 − 20)²/20 + (26 − 24)²/24 + (38 − 36)²/36 + (56 − 60)²/60
χ² = 2,178
Đáp số
χ² = 2,178
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 4,08
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
dây chuyền 1: 75, 25
dây chuyền 2: 60, 20
dây chuyền 3: 30, 10
Thống kê chi bình phương
χ² = (78 − 75)²/75 + (22 − 25)²/25 + (54 − 60)²/60 + (26 − 20)²/20 + (33 − 30)²/30 + (7 − 10)²/10
χ² = 4,08
Quyết định
df = 2, χ²crit = 9,210
4,08 < 9,210
Đáp số
χ² = 4,08
χ² nhỏ hơn giá trị tới hạn, nên H₀ không bị bác bỏ: chưa có bằng chứng đáng kể về mối quan hệ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology