Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Trong một phân phối chuẩn hoàn hảo:
- AGiá trị trung bình luôn lớn hơn trung vị
- BGiá trị trung bình, trung vị và yếu vị bằng nhau
- CHầu hết các điểm nằm ở hai đuôi
- DYếu vị là điểm thấp nhất
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một nghiên cứu thấy tác động của căng thẳng lên bệnh tật yếu hơn ở những người có hỗ trợ xã hội mạnh. Hỗ trợ xã hội đang đóng vai trò là:
- AYếu tố gây nhiễu
- BBiến phụ thuộc
- CBiến điều tiết (moderator)
- DBiến trung gian (mediator)
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 11, 22, 39, 60, 53, 44, 59.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 57,2.
μ = 50σ = 12x = 57,2
z =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,2, 0,35
Var(X) =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €3 mỗi lượt. Bạn thắng €6 với xác suất 0,25 và €30 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €3€6: p = 0,25€30: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tỉ lệ nào nằm giữa 164 và 192 cm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 192
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 10 phần tử có trung bình 72 và độ lệch chuẩn s = 12,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 10x̄ = 72s = 12,590%t(9) = 1,833
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Một nghiên cứu thí điểm cho thấy khoảng 0,4 sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,05?
p ≈ 0,4E = 0,0599%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 60 chi tiết có chiều dài trung bình 60 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 8 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 40 chi tiết có trung bình 57,5 mm, độ lệch chuẩn đã biết 6 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 60x̄₁ = 60 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 40x̄₂ = 57,5 mmσ₂ = 6 mm
z =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 47,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 47,8σ = 5n = 1699%
U =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 28?
n = 5ŷ = 28
x =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 8 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Giá trị trung bình, trung vị và yếu vị bằng nhau
Vì sao đây là đáp án
Phân phối chuẩn đối xứng và hình chuông, nên cả ba thước đo xu hướng trung tâm đều rơi vào chính giữa.
Đáp số
B · Giá trị trung bình, trung vị và yếu vị bằng nhau
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Biến điều tiết (moderator)
Vì sao đây là đáp án
Biến điều tiết làm thay đổi độ mạnh hoặc chiều của mối quan hệ giữa hai biến. Biến trung gian giải thích cơ chế qua đó một biến tác động lên biến khác.
Đáp số
C · Biến điều tiết (moderator)
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 18,72
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 288/7 = 41,14
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−30,14)² + (−19,14)² + (−2,143)² + 18,86² + 11,86² + 2,857² + 17,86² = 2103
Độ lệch chuẩn
s = √(2103/6) = 18,72
Đáp số
s = 18,72
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 0,6
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (57,2 − 50)/12 = 0,6
Đáp số
z = 0,6
5.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 164,8
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 10·0,35 + 20·0,1 + 30·0,2 + 40·0,35 = 25,5
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,1 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 815
Phương sai
Var(X) = 815 − 25,5² = 164,8
Đáp số
Var(X) = 164,8
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = −0,9 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 3 (p = 0,25), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 3·0,25 + 27·0,02 − 3·0,73 = −0,9 €
Đáp số
E(G) = −0,9 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9545
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (192 − 178)/7 = 2
Diện tích ở giữa
P = Φ(2) − Φ(−2) = 0,9772 − 0,02275 = 0,9545
Đáp số
P = 0,9545
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 27,95 min
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Quay lại x
x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min
Đáp số
x = 27,95 min
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 64,75
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Sai số biên
E = 1,833·12,5/√10 = 7,246
Khoảng
72 ± 7,246 → [64,75, 79,25]
Đáp số
giới hạn dưới = 64,75
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 638
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Giải tìm n
n = 2,576²·0,4·0,6/0,05² = 637
Làm tròn lên
n = 638
Đáp số
n = 638
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,783
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(8²/60 + 6²/40) = √1,967 = 1,402
Thống kê kiểm định
z = (60 − 57,5)/1,402 = 1,783
Đáp số
z = 1,783
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 51,02
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·5/√16 = 3,22
Giới hạn của khoảng
U = 47,8 + 3,22 = 51,02
Đáp số
U = 51,02
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9698
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 92,8
Hệ số xác định
r² = −30²/(10·92,8) = 0,9698
Đáp số
r² = 0,9698
Khoảng 96,98% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 9,154
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 99/5 = 19,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Đường hồi quy
b = 104/40 = 2,6
a = 19,8 − 2,6·6 = 4,2
ŷ = 4,2 + 2,6·x
Giải tìm x
x = (28 − 4,2)/2,6 = 9,154
Đáp số
x = 9,154
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 11,9
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 80·70/140 = 40, 80·35/140 = 20, 80·35/140 = 20
nhân viên: 60·70/140 = 30, 60·35/140 = 15, 60·35/140 = 15
Thống kê chi bình phương
χ² = (30 − 40)²/40 + (24 − 20)²/20 + (26 − 20)²/20 + (40 − 30)²/30 + (11 − 15)²/15 + (9 − 15)²/15
χ² = 11,9
Đáp số
χ² = 11,9
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 18,48
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 8 − 1 = 7
Bảng
χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475
Đáp số
χ²crit = 18,475
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology