Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Phép kiểm định nào phù hợp để so sánh giá trị trung bình của hai nhóm độc lập với dữ liệu khoảng, xấp xỉ phân phối chuẩn?
- ATương quan Pearson
- BKiểm định chi bình phương
- CKiểm định t mẫu độc lập
- DKiểm định hạng dấu Wilcoxon
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
Một ANOVA một yếu tố so sánh bốn nhóm có ý nghĩa thống kê. Nhà nghiên cứu nên làm gì tiếp theo để tìm ra nhóm nào khác nhau?
- AChạy các kiểm định hậu nghiệm như Tukey's HSD
- BChạy kiểm định chi bình phương trên các giá trị trung bình
- CBáo cáo kết quả như một tương quan
- DKết luận cả bốn nhóm đều khác nhau
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 56, 35, 51, 44, 28.
n = 5
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 104,8.
μ = 100σ = 12x = 104,8
z =
5.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 5 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 5
P =
6.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 6 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 1 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 6p = 0,25k = 1
P =
7.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 85,75 và 115,75 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 115,75
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 10% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 10).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 phần tử có trung bình 68,5 và độ lệch chuẩn s = 8. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 16x̄ = 68,5s = 899%t(15) = 2,947
E =
10.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 11 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 1 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 10, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 3,247 và 2,5% nằm trên 20,483.
n = 11s = 1 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 70,04 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,04s = 8n = 25
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 109,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 109,8σ = 15n = 1695%
L =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 15Σy = 86Σx² = 55Σy² = 1534Σxy = 235
r =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 48) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 48)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,05 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.
N = 2803 × 2α = 0,05
χ² =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: C · Kiểm định t mẫu độc lập
Vì sao đây là đáp án
Kiểm định t độc lập so sánh trung bình của hai nhóm. Chi bình phương dùng cho tần số; Wilcoxon dùng cho các mẫu liên quan với dữ liệu phi tham số.
Đáp số
C · Kiểm định t mẫu độc lập
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Chạy các kiểm định hậu nghiệm như Tukey's HSD
Vì sao đây là đáp án
F có ý nghĩa cho thấy không phải mọi giá trị trung bình đều bằng nhau. Các kiểm định hậu nghiệm hoặc đối chiếu đã lên kế hoạch xác định cặp nào khác nhau trong khi kiểm soát tỷ lệ sai lầm.
Đáp số
A · Chạy các kiểm định hậu nghiệm như Tukey's HSD
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 11,43
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 214/5 = 42,8
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 13,2² + (−7,8)² + 8,2² + 1,2² + (−14,8)² = 522,8
Độ lệch chuẩn
s = √(522,8/4) = 11,43
Đáp số
s = 11,43
4.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 0,4
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (104,8 − 100)/12 = 0,4
Đáp số
z = 0,4
5.Xác suất
Đáp số: P = 0,5981
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Đáp số
P = 0,5981
6.Xác suất
Đáp số: P = 0,356
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 1) = 6·0,251·0,755 = 6·0,25·0,2373 = 0,356
Đáp số
P = 0,356
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6821
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,05) − Φ(−0,95) = 0,8531 − 0,1711 = 0,6821
Đáp số
P = 0,6821
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 169 cm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Quay lại x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Đáp số
x = 169,03 cm
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 5,894
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Sai số biên
E = 2,947·8/√16 = 5,894
Đáp số
E = 5,894
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 1,755 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 10·1² = 10
Các giới hạn cho σ²
10/20,483 = 0,4882
10/3,247 = 3,08
Giới hạn cho σ
σ = √3,08 = 1,755 µm
Đáp số
σ = 1,755 µm
Khoảng 95% cho σ: [0,6987, 1,755] µm.
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,1
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Thống kê kiểm định
t = (70,04 − 75)/1,6 = −3,1
Đáp số
t = −3,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 102,5
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·15/√16 = 7,35
Giới hạn của khoảng
L = 109,8 − 7,35 = 102,5
Đáp số
L = 102,5
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,9825
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 235 − 15·86/5 = −23
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1534 − 86²/5 = 54,8
Hệ số tương quan
r = −23/√(10·54,8) = −0,9825
Đáp số
r = −0,9825
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = −3,333
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 308/6 = 51,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47
Đường hồi quy
b = 47/17,5 = 2,686
a = 51,33 − 2,686·3,5 = 41,93
ŷ = 41,93 + 2,686·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 41,93 + 2,686·3,5 = 51,33
Phần dư
e = 48 − 51,33 = −3,333
Đáp số
e = −3,333
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 7,778
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
thành thị: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36
nông thôn: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27
Thống kê chi bình phương
χ² = (14 − 12)²/12 + (24 − 32)²/32 + (42 − 36)²/36 + (7 − 9)²/9 + (32 − 24)²/24 + (21 − 27)²/27
χ² = 7,778
Đáp số
χ² = 7,778
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 1,857
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
tuổi 18–30: 24, 56
tuổi 31–50: 30, 70
tuổi 51+: 30, 70
Thống kê chi bình phương
χ² = (22 − 24)²/24 + (58 − 56)²/56 + (35 − 30)²/30 + (65 − 70)²/70 + (27 − 30)²/30 + (73 − 70)²/70
χ² = 1,857
Quyết định
df = 2, χ²crit = 5,991
1,857 < 5,991
Đáp số
χ² = 1,857
χ² nhỏ hơn giá trị tới hạn, nên H₀ không bị bác bỏ: chưa có bằng chứng đáng kể về mối quan hệ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology