Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý học: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 16 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcTrung bình
Sai lầm loại I xảy ra khi nhà nghiên cứu:
- ABác bỏ một giả thuyết không thực sự đúng
- BThu thập quá nhiều dữ liệu
- CDùng sai phép kiểm định thống kê
- DKhông bác bỏ được một giả thuyết không sai
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý họcKhó
"Khủng hoảng tái lập" trong tâm lý học đề cập đến:
- ATình trạng thiếu người tham gia cho các thí nghiệm
- BNhiều phát hiện đã công bố không tái lập được trong các nghiên cứu mới
- CViệc sao chép bảng hỏi mà không xin phép
- DViệc các tạp chí bị luật yêu cầu phải từ chối mọi nghiên cứu tái lập được gửi đến
3.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 54, 46, 28, 38, 52, 27, 56.
n = 7
s =
4.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 40 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 15x = 40
P =
5.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,1, 0,05
σ =
6.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €2 với xác suất 0,2 và €20 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €1€2: p = 0,2€20: p = 0,02
E(G) = €
7.Phân phối chuẩnTrung bình
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 470 và 574 h? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 500σ = 40x1 = 470x2 = 574
P =
8.Phân phối chuẩnKhó
khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 9 phần tử có trung bình 101 và độ lệch chuẩn s = 15. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 9x̄ = 101s = 1590%t(8) = 1,86
giới hạn dưới =
10.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 9 ô, năng suất trung bình 18 kg, độ lệch chuẩn 8,5 kg. Nhóm ô 2: 5 ô, trung bình 10 kg, độ lệch chuẩn 1,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 18s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 10s₂ = 1,595%t(12) = 2,179
giới hạn trên = kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 497,8 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 4n = 16
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 502,7. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 502,7σ = 4n = 1690%
L =
13.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
14.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (19, 112) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(19, 112)
e =
15.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 2402 × 3
χ² =
16.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thực hiện trên bảng tiếp liên có 2 hàng và 11 cột (không tính các tổng). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Dung dịch
1.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: A · Bác bỏ một giả thuyết không thực sự đúng
Vì sao đây là đáp án
Sai lầm loại I khẳng định một hiệu ứng không tồn tại. Xác suất của nó bằng mức ý nghĩa (thường là 0,05). Sai lầm loại II bỏ sót một hiệu ứng có thật.
Đáp số
A · Bác bỏ một giả thuyết không thực sự đúng
2.Phương pháp nghiên cứu trong tâm lý học
Đáp số: B · Nhiều phát hiện đã công bố không tái lập được trong các nghiên cứu mới
Vì sao đây là đáp án
Các dự án tái lập quy mô lớn phát hiện nhiều hiệu ứng nhỏ hơn hoặc không tồn tại, liên quan đến thiên lệch công bố, mẫu nhỏ và phân tích linh hoạt. Đăng ký trước nghiên cứu là một cách đáp lại.
Đáp số
B · Nhiều phát hiện đã công bố không tái lập được trong các nghiên cứu mới
3.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 12,15
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 301/7 = 43
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 11² + 3² + (−15)² + (−5)² + 9² + (−16)² + 13² = 886
Độ lệch chuẩn
s = √(886/6) = 12,15
Đáp số
s = 12,15
4.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,9772
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Đáp số
P = 0,9772
5.Xác suất
Đáp số: σ = 1,152
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,05 = 1,15
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,05 = 2,65
Phương sai
Var(X) = 2,65 − 1,15² = 1,328
σ = √1,328 = 1,152
Đáp số
σ = 1,152
6.Xác suất
Đáp số: E(G) = −0,2 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 1 (p = 0,2), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 1·0,2 + 19·0,02 − 1·0,78 = −0,2 €
Đáp số
E(G) = −0,2 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
7.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7412
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75
z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,85) − Φ(−0,75) = 0,9678 − 0,2266 = 0,7412
Đáp số
P = 0,7412
8.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 256,4 g
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Đáp số
x = 256,41 g
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 91,7
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Sai số biên
E = 1,86·15/√9 = 9,3
Khoảng
101 ± 9,3 → [91,7, 110,3]
Đáp số
giới hạn dưới = 91,7
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 16,5 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (8·8,5² + 4·1,5²)/12 = 48,92
sp = 6,994
Sai số biên
E = 2,179·6,994·√(1/9 + 1/5) = 8,5
Khoảng
8 ± 8,5 → [−0,5005, 16,5]
Đáp số
giới hạn trên = 16,5 kg
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Thống kê kiểm định
t = (497,8 − 500)/1 = −2,2
Đáp số
t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 501,1
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·4/√16 = 1,645
Giới hạn của khoảng
L = 502,7 − 1,645 = 501,1
Đáp số
L = 501,1
13.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9161
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 137/6 = 22,83
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 28,83
Hệ số xác định
r² = −21,5²/(17,5·28,83) = 0,9161
Đáp số
r² = 0,9161
Khoảng 91,61% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
14.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 4,55
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 634/5 = 126,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
Đường hồi quy
b = 258/40 = 6,45
a = 126,8 − 6,45·22 = −15,1
ŷ = −15,1 + 6,45·x
Giá trị dự đoán
ŷ = −15,1 + 6,45·19 = 107,4
Phần dư
e = 112 − 107,4 = 4,55
Đáp số
e = 4,55
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
15.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 8,986
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
sinh viên: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
nhân viên: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
Thống kê chi bình phương
χ² = (35 − 36)²/36 + (46 − 36)²/36 + (39 − 48)²/48 + (37 − 36)²/36 + (26 − 36)²/36 + (57 − 48)²/48
χ² = 8,986
Đáp số
χ² = 8,986
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.
16.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ²crit = 18,31
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
Bảng
χ²crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307
Đáp số
χ²crit = 18,307
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology