Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 59, 18, 16, 24, 17, 16.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 63,2 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 8x = 63,2

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 8 quả bóng đỏ và 8 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

8 / 8

P =

4.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,1, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 5 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 10p = 0,1k = 5

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 16 trong số đó vượt quá 1312 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1312 kg

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 8 phần tử có trung bình 93 và độ lệch chuẩn s = 16,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 8x̄ = 93s = 16,590%t(7) = 1,895

E =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 34. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 34E = 490%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

11 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là 5,33 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 5,2. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 5,33s_d = 5,2

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 150 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 165 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 165n₂ = 300

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 105Σy = 536Σx² = 2295Σy² = 60502Σxy = 11775

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 52?

n = 5ŷ = 52

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 16,92

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 150/6 = 25

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 34² + (−7)² + (−9)² + (−1)² + (−8)² + (−9)² = 1432

Độ lệch chuẩn

s = √(1432/5) = 16,92

Đáp số

s = 16,92

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,6554

Chuẩn hóa

z = 0,4

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Đáp số

P = 0,6554

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,2333

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Đáp số

P = 0,2333

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,001488

Công thức nhị thức

P(X = 5) = 252·0,1⁵·0,9⁵ = 252·1 × 10⁻⁵·0,5905 = 0,001488

Đáp số

P = 0,001488

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Chuẩn hóa

z = (1312 − 1360)/48 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9868

Phân bố của hiệu

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Xác suất

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Đáp số

P = 0,9868

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 11,05

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Sai số biên

E = 1,895·16,5/√8 = 11,05

Đáp số

E = 11,05

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 196

Giải tìm n

n = (1,645·34/4)² = 195,5

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 196

Đáp số

n = 196

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 3,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Sai số chuẩn của hiệu trung bình

SE = 5,2/√11 = 1,568

Thống kê kiểm định

t = 5,33/1,568 = 3,4

Đáp số

t = 3,4

Với df = 10, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,228; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 1,18

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 165/300 = 0,55

p̂ = 315/550 = 0,5727

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,5727·0,4273·(1/250 + 1/300)) = 0,04236

Thống kê kiểm định

z = (0,6 − 0,55)/0,04236 = 1,18

Đáp số

z = 1,18

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9918

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 11775 − 105·536/5 = 519

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 60502 − 536²/5 = 3043

Hệ số tương quan

r = 519/√(90·3043) = 0,9918

Đáp số

r = 0,9918

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 1,4

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 296/5 = 59,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

Đường hồi quy

b = 45/10 = 4,5

a = 59,2 − 4,5·3 = 45,7

ŷ = 45,7 + 4,5·x

Giải tìm x

x = (52 − 45,7)/4,5 = 1,4

Đáp số

x = 1,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1