Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
20222426283032343638

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 30, 20, 34, 22, 37, 38.

n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 40. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 580 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 40x = 580
P =
3.Xác suấtTrung bình
đỏ: 4xanh dương: 9

Một túi chứa 4 quả bóng đỏ và 9 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

4 / 9
P =
4.Xác suấtKhó
n = 9, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

9 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 9p = 0,3
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
480 g482,1 gT = X₁ + … + X₁₂?

Khối lượng của bu lông là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 40 g và độ lệch chuẩn 1,2 g. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 482,1 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 482,1 g
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 500x = ?75%

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).

μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 10, s = 4,5LUx̄ = 115E = ?95%

Một mẫu 10 phần tử có trung bình 115 và độ lệch chuẩn s = 4,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 10x̄ = 115s = 4,595%t(9) = 2,262
E =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 39. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 39E = 0,599%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,9901,99

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 97,67 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,67s = 15n = 81
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5? Độ lệch chuẩn là 5. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 5E = 1,590%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy157618862197241242713930150xy15202530100150

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 135Σy = 672Σx² = 3195Σy² = 79778Σxy = 15954
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy1383495587659761190xy510406080ŷ = 83

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 83?

n = 6ŷ = 83
x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 7,653

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 181/6 = 30,17

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−0,1667)² + (−10,17)² + 3,833² + (−8,167)² + 6,833² + 7,833² = 292,8

Độ lệch chuẩn

s = √(292,8/5) = 7,653

Đáp số

s = 7,653
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,02275

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = 2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,07692

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Đáp số

P = 0,07692
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,196

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,79 = 0,04035
P(X = 1) = 9·0,3·0,78 = 0,1556

Cộng lại

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Đáp số

P = 0,196
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,305

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μT = 480 g, σT = 1,2·√12 = 4,157 g

Chuẩn hóa

z = (482,1 − 480)/4,157 = 0,51

Xác suất

P = 1 − Φ(0,51) = 0,305

Đáp số

P = 0,305
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 527 h

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Quay lại x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Đáp số

x = 526,98 h
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 3,219

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Sai số biên

E = 2,262·4,5/√10 = 3,219

Đáp số

E = 3,219
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 40373

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·39/0,5)² = 40372

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 40373

Đáp số

n = 40373
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,398

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Thống kê kiểm định

t = (97,67 − 100)/1,667 = −1,398

Đáp số

t = −1,398
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 31

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,645·5/1,5)² = 30,07

Làm tròn lên

n = 31

Đáp số

n = 31
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9891

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 15954 − 135·672/6 = 834
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157,5
Syy = 79778 − 672²/6 = 4514

Hệ số tương quan

r = 834/√(157,5·4514) = 0,9891

Đáp số

r = 0,9891
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 10,09

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 376/6 = 62,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 348

Đường hồi quy

b = 348/70 = 4,971
a = 62,67 − 4,971·6 = 32,84
ŷ = 32,84 + 4,971·x

Giải tìm x

x = (83 − 32,84)/4,971 = 10,09

Đáp số

x = 10,09

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1