Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 43, 21, 30, 44, 49, 46, 28.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 164 là bao nhiêu?

μ = 170σ = 5x = 164

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 3 quả bóng đỏ và 8 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

3 / 8

P =

4.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 1 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 10p = 0,4k = 1

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 24,8 và 42,8 min? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 42,8

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 20% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 20).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 6 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 6,3 và độ lệch chuẩn 2. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 6d̄ = 6,3s_d = 299%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 12E = 1,590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Trung bình của một tổng thể được cho là 100; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 8. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 64 quan sát có trung bình 102,32. Kiểm định H₀: μ = 100 với H₁: μ ≠ 100. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 100σ = 8n = 64x̄ = 102,32H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 25 phép đo có trung bình 501,1. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 501,1σ = 8n = 2590%

U =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 21Σy = 112Σx² = 91Σy² = 2222Σxy = 345

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 24) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 24)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 10,77

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 261/7 = 37,29

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 5,714² + (−16,29)² + (−7,286)² + 6,714² + 11,71² + 8,714² + (−9,286)² = 695,4

Độ lệch chuẩn

s = √(695,4/6) = 10,77

Đáp số

s = 10,77

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1151

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Đáp số

P = 0,1151

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,05455

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Đáp số

P = 0,05455

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,04031

Công thức nhị thức

P(X = 1) = 10·0,4¹·0,6⁹ = 10·0,4·0,01008 = 0,04031

Đáp số

P = 0,04031

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,849

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,8) − Φ(−1,2) = 0,9641 − 0,1151 = 0,849

Đáp số

P = 0,849

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 466,3 h

z của phân vị

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Quay lại x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Đáp số

x = 466,34 h

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 3,292 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 5, t = 4,032

Sai số biên

E = 4,032·2/√6 = 3,292

Đáp số

E = 3,292 mmHg

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 174

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·12/1,5)² = 173,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 174

Đáp số

n = 174

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,02034

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (102,32 − 100)/1 = 2,32

Diện tích đuôi

Φ(2,32) = 0,9898

1 − Φ(2,32) = 0,0102

Giá trị p

p = 2·0,0102 = 0,02034

Đáp số

p = 0,02034

p ≤ 0,05, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5%.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 503,7

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·8/√25 = 2,632

Giới hạn của khoảng

U = 501,1 + 2,632 = 503,7

Đáp số

U = 503,7

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9804

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 345 − 21·112/6 = −47

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2222 − 112²/6 = 131,3

Hệ số tương quan

r = −47/√(17,5·131,3) = −0,9804

Đáp số

r = −0,9804

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 4,1

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Đường hồi quy

b = −26/10 = −2,6

a = 18,6 − (−2,6)·3 = 26,4

ŷ = 26,4 − 2,6·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 26,4 + (−2,6)·2,5 = 19,9

Phần dư

e = 24 − 19,9 = 4,1

Đáp số

e = 4,1

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1