Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 29, 31, 17, 47, 41.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 400 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 100x = 400

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 8 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

6 / 8

P =

4.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €2 với xác suất 0,2 và €10 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €1€2: p = 0,2€10: p = 0,01

E(G) = €

5.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 95,4 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 phần tử có trung bình 18 và độ lệch chuẩn s = 1. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 16x̄ = 18s = 195%t(15) = 2,131

E =

8.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 15 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 2 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 14, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 5,629 và 2,5% nằm trên 26,119.

n = 15s = 2 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 60 chi tiết có chiều dài trung bình 139,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 8 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 60 chi tiết có trung bình 135,8 mm, độ lệch chuẩn đã biết 13 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 60x̄₁ = 139,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 60x̄₂ = 135,8 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 175 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 225 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 225n₂ = 300

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 42Σy = 176Σx² = 364Σy² = 6262Σxy = 1508

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3, 15) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(3, 15)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,58

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 165/5 = 33

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−2)² + (−16)² + 14² + 8² = 536

Độ lệch chuẩn

s = √(536/4) = 11,58

Đáp số

s = 11,58

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8413

Chuẩn hóa

z = −1

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,1648

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

Đáp số

P = 0,1648

4.Xác suất

Đáp số: E(G) = −0,5 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 1 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 1·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = −0,5 €

Đáp số

E(G) = −0,5 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9332

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Chuẩn hóa

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Đáp số

P = 0,9332

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 256,4 g

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Quay lại x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Đáp số

x = 256,41 g

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 0,5327

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Sai số biên

E = 2,131·1/√16 = 0,5327

Đáp số

E = 0,5327

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 3,154 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 14·2² = 56

Các giới hạn cho σ²

56/26,119 = 2,144

56/5,629 = 9,948

Giới hạn cho σ

σ = √9,948 = 3,154 µm

Đáp số

σ = 3,154 µm

Khoảng 95% cho σ: [1,464, 3,154] µm.

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 1,878

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(8²/60 + 13²/60) = √3,883 = 1,971

Thống kê kiểm định

z = (139,5 − 135,8)/1,971 = 1,878

Đáp số

z = 1,878

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −1,311

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 175/250 = 0,7

p̂₂ = 225/300 = 0,75

p̂ = 400/550 = 0,7273

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,7273·0,2727·(1/250 + 1/300)) = 0,03814

Thống kê kiểm định

z = (0,7 − 0,75)/0,03814 = −1,311

Đáp số

z = −1,311

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9949

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1508 − 42·176/6 = 276

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 6262 − 176²/6 = 1099

Hệ số tương quan

r = 276/√(70·1099) = 0,9949

Đáp số

r = 0,9949

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 3,25

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 100/5 = 20

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Đường hồi quy

b = 110/40 = 2,75

a = 20 − 2,75·6 = 3,5

ŷ = 3,5 + 2,75·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 3,5 + 2,75·3 = 11,75

Phần dư

e = 15 − 11,75 = 3,25

Đáp số

e = 3,25

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1