Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 38, 58, 11, 22, 28, 34.
n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 45.
μ = 50σ = 10x = 45
z =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,35, 0,2
σ =
4.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,3Y = 3X + 20
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 200,6 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,6 mm
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 30 phần tử có trung bình 11 và độ lệch chuẩn s = 12. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
n = 30x̄ = 11s = 1295%t(29) = 2,045
giới hạn dưới =
8.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 7 ô, năng suất trung bình 42,5 kg, độ lệch chuẩn 6,5 kg. Nhóm ô 2: 10 ô, trung bình 52 kg, độ lệch chuẩn 9 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 42,5s₁ = 6,5n₂ = 10x̄₂ = 52s₂ = 999%t(15) = 2,947
E = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 80 chi tiết có chiều dài trung bình 86 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 3 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 50 chi tiết có trung bình 83,3 mm, độ lệch chuẩn đã biết 11 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 80x̄₁ = 86 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 50x̄₂ = 83,3 mmσ₂ = 11 mm
z =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 494. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 494σ = 8n = 1695%
L =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 141Σy = 687Σx² = 3471Σy² = 83221Σxy = 16989
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 51?
n = 6ŷ = 51
x =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 15,96
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 191/6 = 31,83
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = 6,167² + 26,17² + (−20,83)² + (−9,833)² + (−3,833)² + 2,167² = 1273
Độ lệch chuẩn
s = √(1273/5) = 15,96
Đáp số
s = 15,96
2.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −0,5
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (45 − 50)/10 = −0,5
Đáp số
z = −0,5
3.Xác suất
Đáp số: σ = 11,58
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 10·0,35 + 20·0,1 + 30·0,35 + 40·0,2 = 24
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,1 + 900·0,35 + 1600·0,2 = 710
Phương sai
Var(X) = 710 − 24² = 134
σ = √134 = 11,58
Đáp số
σ = 11,58
4.Xác suất
Đáp số: σY = 7,464
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,9, Var(X) = 6,19, σX = 2,488
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |3|·2,488 = 7,464
Đáp số
σY = 7,464
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·2,9 + 20 = 28,7.
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,1151
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Chuẩn hóa
z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151
Đáp số
P = 0,1151
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7389
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Đáp số
P = 0,7389
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 6,52
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Sai số biên
E = 2,045·12/√30 = 4,48
Khoảng
11 ± 4,48 → [6,52, 15,48]
Đáp số
giới hạn dưới = 6,52
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 11,75 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (6·6,5² + 9·9²)/15 = 65,5
sp = 8,093
Sai số biên
E = 2,947·8,093·√(1/7 + 1/10) = 11,75
Đáp số
E = 11,75 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,697
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(3²/80 + 11²/50) = √2,533 = 1,591
Thống kê kiểm định
z = (86 − 83,3)/1,591 = 1,697
Đáp số
z = 1,697
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 490,1
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·8/√16 = 3,92
Giới hạn của khoảng
L = 494 − 3,92 = 490,1
Đáp số
L = 490,1
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9966
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 16989 − 141·687/6 = 844,5
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 83221 − 687²/6 = 4560
Hệ số tương quan
r = 844,5/√(157,5·4560) = 0,9966
Đáp số
r = 0,9966
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 17,5
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 446/6 = 74,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 612
Đường hồi quy
b = 612/157,5 = 3,886
a = 74,33 − 3,886·23,5 = −16,98
ŷ = −16,98 + 3,886·x
Giải tìm x
x = (51 − (−16,98))/3,886 = 17,5
Đáp số
x = 17,5
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1