Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
1820222426283032343638

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 38, 25, 18, 36, 38.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 60. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 440 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 60x = 440
P =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)100,25200,15300,25400,35μ = 27

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35
σ =
4.Xác suấtKhó
xp(x)100,2200,3300,3400,2μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = 2X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,2Y = 2X + 1
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
225 kg228 kgT = X₁ + … + X₉?

Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 9 trong số đó vượt quá 228 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 228 kg
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
0,03 mm0D − d?

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 6, s = 6LU = ?x̄ = 11E90%

Một mẫu 6 phần tử có trung bình 11 và độ lệch chuẩn s = 6. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 6x̄ = 11s = 690%t(5) = 2,015
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02595%

Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,025?

p = 0,5E = 0,02595%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,0302,03

Một mẫu 36 sinh viên có điểm trung bình 109,7 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 109,7s = 20n = 36
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −2,57602,576

Một mẫu 16 phép đo có trung bình 98,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 98,4σ = 4n = 1699%
L =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy124223323419517614xy246152025

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 21Σy = 120Σx² = 91Σy² = 2480Σxy = 384
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy126225319418516613xy246152025x = 5,5

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (5,5, 10) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 10)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 9,055

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 155/5 = 31

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 7² + (−6)² + (−13)² + 5² + 7² = 328

Độ lệch chuẩn

s = √(328/4) = 9,055

Đáp số

s = 9,055
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1587

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −1

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587
3.Xác suất

Đáp số: σ = 11,87

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,25 + 20·0,15 + 30·0,25 + 40·0,35 = 27

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,15 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 870

Phương sai

Var(X) = 870 − 27² = 141
σ = √141 = 11,87

Đáp số

σ = 11,87
4.Xác suất

Đáp số: σY = 20,49

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 25, Var(X) = 105, σX = 10,25

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |2|·10,25 = 20,49

Đáp số

σY = 20,49

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 2·25 + 1 = 51.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,02275

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg

Chuẩn hóa

z = (228 − 225)/1,5 = 2

Xác suất

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9099

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Đáp số

P = 0,9099
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 15,94

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Sai số biên

E = 2,015·6/√6 = 4,936

Khoảng

11 ± 4,936 → [6,064, 15,94]

Đáp số

giới hạn trên = 15,94
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Giải tìm n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Làm tròn lên

n = 1537

Đáp số

n = 1537
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,09

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Thống kê kiểm định

t = (109,7 − 120)/3,333 = −3,09

Đáp số

t = −3,09
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 95,82

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 2,576·4/√16 = 2,576

Giới hạn của khoảng

L = 98,4 − 2,576 = 95,82

Đáp số

L = 95,82
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9621

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 384 − 21·120/6 = −36
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2480 − 120²/6 = 80

Hệ số tương quan

r = −36/√(17,5·80) = −0,9621

Đáp số

r = −0,9621
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −4,186

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46,5

Đường hồi quy

b = −46,5/17,5 = −2,657
a = 19,5 − (−2,657)·3,5 = 28,8
ŷ = 28,8 − 2,657·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 28,8 + (−2,657)·5,5 = 14,19

Phần dư

e = 10 − 14,19 = −4,186

Đáp số

e = −4,186

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1