Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
15202530354045

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 35, 39, 31, 15, 12, 47.

n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 100.

μ = 70σ = 20x = 100
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)100,15200,15300,35400,35μ = 29

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35
σ =
4.Xác suấtKhó
€p(x)−50,8200,15450,05

Một trò chơi tốn €5 mỗi lượt. Bạn thắng €25 với xác suất 0,15 và €50 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €5€25: p = 0,15€50: p = 0,05
E(G) = €
5.Phân phối chuẩnTrung bình
454508P = ?

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 454 và 508 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 508
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 100x = ?90%

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).

μ = 100σ = 15P = 90%
x = điểm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 8, s = 9,5L = ?Ux̄ = 23E90%

Một mẫu 8 phần tử có trung bình 23 và độ lệch chuẩn s = 9,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 8x̄ = 23s = 9,590%t(7) = 1,895
giới hạn dưới =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 18, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 18. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 18E = 290%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
−1,441,44p = ?

Trung bình của một tổng thể được cho là 500; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 15. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 36 quan sát có trung bình 503,6. Kiểm định H₀: μ = 500 với H₁: μ ≠ 500. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 500σ = 15n = 36x̄ = 503,6H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
−1,961,96z = ?

Trong một thử nghiệm, 175 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 183 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 183n₂ = 300
z =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy151258361459568670xy246506070

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy1578179519952111323117xy152080100120x = 18

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 18.

n = 5x = 18
ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,75

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 179/6 = 29,83

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 5,167² + 9,167² + 1,167² + (−14,83)² + (−17,83)² + 17,17² = 944,8

Độ lệch chuẩn

s = √(944,8/5) = 13,75

Đáp số

s = 13,75
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1,5

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (100 − 70)/20 = 1,5

Đáp số

z = 1,5
3.Xác suất

Đáp số: σ = 10,44

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,15 + 20·0,15 + 30·0,35 + 40·0,35 = 29

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,15 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 950

Phương sai

Var(X) = 950 − 29² = 109
σ = √109 = 10,44

Đáp số

σ = 10,44
4.Xác suất

Đáp số: E(G) = 1,25 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 20 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 20·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = 1,25 €

Đáp số

E(G) = 1,25 €

Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,4542

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,2) − Φ(−1,15) = 0,5793 − 0,1251 = 0,4542

Đáp số

P = 0,4542
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 119,2 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Quay lại x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 điểm

Đáp số

x = 119,22 điểm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 16,64

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Sai số biên

E = 1,895·9,5/√8 = 6,365

Khoảng

23 ± 6,365 → [16,64, 29,36]

Đáp số

giới hạn dưới = 16,64
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 220

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·18/2)² = 219,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 220

Đáp số

n = 220
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,1499

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5
z = (503,6 − 500)/2,5 = 1,44

Diện tích đuôi

Φ(1,44) = 0,9251
1 − Φ(1,44) = 0,0749

Giá trị p

p = 2·0,0749 = 0,1499

Đáp số

p = 0,1499

p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 2,205

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 175/250 = 0,7
p̂₂ = 183/300 = 0,61
p̂ = 358/550 = 0,6509

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,6509·0,3491·(1/250 + 1/300)) = 0,04082

Thống kê kiểm định

z = (0,7 − 0,61)/0,04082 = 2,205

Đáp số

z = 2,205

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9434

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 367/6 = 61,17

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 242,8

Hệ số tương quan

r = 61,5/√(17,5·242,8) = 0,9434

Đáp số

r = 0,9434
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 94,8

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 498/5 = 99,6

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Đường hồi quy

b = 192/40 = 4,8
a = 99,6 − 4,8·19 = 8,4
ŷ = 8,4 + 4,8·x

Dự đoán

ŷ = 8,4 + 4,8·18 = 94,8

Đáp số

ŷ = 94,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1