Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
152025303540455055

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 34, 18, 35, 14, 56, 32.

n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 64.

μ = 70σ = 12x = 64
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,310,320,3530,05μ = 1,15

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05
σ =
4.Xác suấtKhó
xp(x)10,0520,3530,140,2550,25μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = 10X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,1, 0,25, 0,25Y = 10X + 4
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
750 g762,3 gX + Y?

X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 762,3 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
10 cm0X − Y?

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 10, sd​ = 1,30L = ?Ud̄ = 2,4E95%

Huyết áp của 10 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 2,4 và độ lệch chuẩn 1,3. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.

n = 10d̄ = 2,4sd = 1,395%t(9) = 2,262
giới hạn dưới = mmHg
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 3, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 3. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 3E = 0,599%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,99801,998

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 100,8 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,8s = 5n = 64
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −1,9601,96

Một mẫu 49 phép đo có trung bình 48,2. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 48,2σ = 8n = 4995%
U =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy256363465572676xy2466070

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 20Σy = 332Σx² = 90Σy² = 22290Σxy = 1377
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy249467677890109812116xy51050100ŷ = 70

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70
x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,88

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 189/6 = 31,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 2,5² + (−13,5)² + 3,5² + (−17,5)² + 24,5² + 0,5² = 1108

Độ lệch chuẩn

s = √(1108/5) = 14,88

Đáp số

s = 14,88
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,5

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (64 − 70)/12 = −0,5

Đáp số

z = −0,5
3.Xác suất

Đáp số: σ = 0,9097

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,05 = 1,15

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,05 = 2,15

Phương sai

Var(X) = 2,15 − 1,15² = 0,8275
σ = √0,8275 = 0,9097

Đáp số

σ = 0,9097
4.Xác suất

Đáp số: σY = 13,08

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 3,3, Var(X) = 1,71, σX = 1,308

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |10|·1,308 = 13,08

Đáp số

σY = 13,08

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 10·3,3 + 4 = 37.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,1056

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Chuẩn hóa

z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25

Đuôi trên

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Đáp số

P = 0,1056
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 1,47 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 9, t = 2,262

Sai số biên

E = 2,262·1,3/√10 = 0,9299

Khoảng

2,4 ± 0,9299 → [1,47, 3,33]

Đáp số

giới hạn dưới = 1,47 mmHg
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 239

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·3/0,5)² = 238,9

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 239

Đáp số

n = 239
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,28

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Thống kê kiểm định

t = (100,8 − 100)/0,625 = 1,28

Đáp số

t = 1,28
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 50,44

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,96·8/√49 = 2,24

Giới hạn của khoảng

U = 48,2 + 2,24 = 50,44

Đáp số

U = 50,44
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9895

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 1377 − 20·332/5 = 49
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 22290 − 332²/5 = 245,2

Hệ số tương quan

r = 49/√(10·245,2) = 0,9895

Đáp số

r = 0,9895
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 4,963

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 497/6 = 82,83

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441

Đường hồi quy

b = 441/70 = 6,3
a = 82,83 − 6,3·7 = 38,73
ŷ = 38,73 + 6,3·x

Giải tìm x

x = (70 − 38,73)/6,3 = 4,963

Đáp số

x = 4,963

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1