Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 46, 29, 15, 56, 29, 38, 25.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 40 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 15x = 40

P =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,25, 0,05

σ =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,05, 0,05Y = 3X + 4

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 111,4 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = điểm

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 30 điện thoại, trung bình 123 h, độ lệch chuẩn đã biết 19 h. Mẫu 2: 80 điện thoại, trung bình 109 h, độ lệch chuẩn đã biết 12 h. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 123 hσ₁ = 19 hn₂ = 80x̄₂ = 109 hσ₂ = 12 h99%

giới hạn trên = h

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 20E = 495%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 50 chi tiết có chiều dài trung bình 99,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 20 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 96,8 mm, độ lệch chuẩn đã biết 6 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 50x̄₁ = 99,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 30x̄₂ = 96,8 mmσ₂ = 6 mm

z =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 49 phép đo có trung bình 97,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 97,8σ = 12n = 4995%

L =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 42Σy = 132Σx² = 364Σy² = 3446Σxy = 1118

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,76

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 238/7 = 34

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 12² + (−5)² + (−19)² + 22² + (−5)² + 4² + (−9)² = 1136

Độ lệch chuẩn

s = √(1136/6) = 13,76

Đáp số

s = 13,76

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,9772

Chuẩn hóa

z = −2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772

3.Xác suất

Đáp số: σ = 0,8944

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,05 = 2

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,05 = 4,8

Phương sai

Var(X) = 4,8 − 2² = 0,8

σ = √0,8 = 0,8944

Đáp số

σ = 0,8944

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 3,231

Độ phân tán của X

μ = 1,2, Var(X) = 1,16, σ_X = 1,077

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |3|·1,077 = 3,231

Đáp số

σ_Y = 3,231

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·1,2 + 4 = 7,6.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,1587

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Chuẩn hóa

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Đuôi trên

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 84,6 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 điểm

Đáp số

x = 84,6 điểm

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 23,58 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 123 − 109 = 14

Sai số chuẩn

SE = √(19²/30 + 12²/80) = 3,719

Sai số biên

E = 2,576·3,719 = 9,581

Khoảng

14 ± 9,581 → [4,419, 23,58]

Đáp số

giới hạn trên = 23,58 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 97

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,96·20/4)² = 96,04

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 97

Đáp số

n = 97

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 0,8902

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(20²/50 + 6²/30) = √9,2 = 3,033

Thống kê kiểm định

z = (99,5 − 96,8)/3,033 = 0,8902

Đáp số

z = 0,8902

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 94,44

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,96·12/√49 = 3,36

Giới hạn của khoảng

L = 97,8 − 3,36 = 94,44

Đáp số

L = 94,44

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,996

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1118 − 42·132/6 = 194

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3446 − 132²/6 = 542

Hệ số tương quan

r = 194/√(70·542) = 0,996

Đáp số

r = 0,996

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 3

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 89/5 = 17,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Đường hồi quy

b = 104/40 = 2,6

a = 17,8 − 2,6·6 = 2,2

ŷ = 2,2 + 2,6·x

Giải tìm x

x = (10 − 2,2)/2,6 = 3

Đáp số

x = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1