Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 25, 23, 23, 13, 46.
n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 38 là bao nhiêu?
μ = 50σ = 8x = 38
P =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3
σ =
4.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 5X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35Y = 5X + 4
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 33,3 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Một khoảng tin cậy 90% cho một trung bình, dựa trên 36 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 6. Sai số biên E₂ là bao nhiêu nếu cùng nghiên cứu đó dùng 324 quan sát?
90%n₁ = 36E₁ = 6n₂ = 324
E₂ =
8.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 15 ô, năng suất trung bình 74,5 kg, độ lệch chuẩn 2,5 kg. Nhóm ô 2: 16 ô, trung bình 66,5 kg, độ lệch chuẩn 4 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 15x̄₁ = 74,5s₁ = 2,5n₂ = 16x̄₂ = 66,5s₂ = 495%t(29) = 2,045
E = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 40 chi tiết có chiều dài trung bình 62 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 3 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 100 chi tiết có trung bình 58,9 mm, độ lệch chuẩn đã biết 19 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 40x̄₁ = 62 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 58,9 mmσ₂ = 19 mm
z =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 80 với H₁: μ > 80 được thực hiện ở mức α = 0,10 với một mẫu 64; độ lệch chuẩn đã biết là 24. Trên thực tế trung bình là 83,3. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.
μ₀ = 80μ = 83,3σ = 24n = 64α = 0,10
β = %
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 16) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 16)
e =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 12,12
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 130/5 = 26
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−3)² + (−3)² + (−13)² + 20² = 588
Độ lệch chuẩn
s = √(588/4) = 12,12
Đáp số
s = 12,12
2.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,9332
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
3.Xác suất
Đáp số: σ = 12,03
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,15 + 40·0,3 = 24,5
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,15 + 1600·0,3 = 745
Phương sai
Var(X) = 745 − 24,5² = 144,8
σ = √144,8 = 12,03
Đáp số
σ = 12,03
4.Xác suất
Đáp số: σY = 11,58
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 3,2, Var(X) = 5,36, σX = 2,315
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |5|·2,315 = 11,58
Đáp số
σY = 11,58
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 5·3,2 + 4 = 20.
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,3015
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Đuôi trên
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Đáp số
P = 0,3015
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8554
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Đáp số
P = 0,8554
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: E₂ = 2
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Tỉ số các sai số biên
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/324) = 0,3333
Sai số biên mới
E₂ = 6·0,3333 = 2
Đáp số
E₂ = 2
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 2,47 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (14·2,5² + 15·4²)/29 = 11,29
sp = 3,361
Sai số biên
E = 2,045·3,361·√(1/15 + 1/16) = 2,47
Đáp số
E = 2,47 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,583
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(3²/40 + 19²/100) = √3,835 = 1,958
Thống kê kiểm định
z = (62 − 58,9)/1,958 = 1,583
Đáp số
z = 1,583
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: β = 57,22 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 80 + 1,282·3 = 83,85
z theo trung bình thật
z = (83,85 − 83,3)/3 = 0,182
Sai lầm loại II
lực của kiểm định = P(Z > 0,182) = 42,78%
β = 100% − 42,78% = 57,22%
Đáp số
β = 57,22%
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,6108
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 407/6 = 67,83
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 92,83
Hệ số xác định
r² = 31,5²/(17,5·92,83) = 0,6108
Đáp số
r² = 0,6108
Khoảng 61,08% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = −2,4
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 110/5 = 22
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Đường hồi quy
b = −24/10 = −2,4
a = 22 − (−2,4)·3 = 29,2
ŷ = 29,2 − 2,4·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 29,2 + (−2,4)·4,5 = 18,4
Phần dư
e = 16 − 18,4 = −2,4
Đáp số
e = −2,4
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1