Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
25303540455055

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 23, 51, 59, 44, 43, 57, 23.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 40.

μ = 50σ = 5x = 40
z =
3.Xác suấtTrung bình
P(ít nhất một mặt sáu) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(sáu) = 1/6 ở mỗi lần tung

Gieo một con xúc xắc cân đối 8 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?

n = 8
P =
4.Xác suấtKhó
n = 12, p = 0,6: P(X = 1) = ?k0123456789101112

Một bài kiểm tra có 12 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 1 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 12p = 0,6k = 1
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
2035,3P = ?

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 20 và 35,3 min? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 35,3
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
10 cm0X − Y?

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 15, s = 13,5L = ?Ux̄ = 64,5E90%

Một mẫu 15 phần tử có trung bình 64,5 và độ lệch chuẩn s = 13,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 15x̄ = 64,5s = 13,590%t(14) = 1,761
giới hạn dưới =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 13, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 13. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 13E = 0,599%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,99801,998

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 127,3 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 127,3s = 20n = 64
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,595%

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 10E = 0,595%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy121219317415516611xy2461520

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy1323425547599731177xy510406080x = 4

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 4.

n = 6x = 4
ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,81

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 300/7 = 42,86

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−19,86)² + 8,143² + 16,14² + 1,143² + 0,1429² + 14,14² + (−19,86)² = 1317

Độ lệch chuẩn

s = √(1317/6) = 14,81

Đáp số

s = 14,81
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −2

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (40 − 50)/5 = −2

Đáp số

z = −2
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,7674

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Biến cố bù

P(không có mặt sáu) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Đáp số

P = 0,7674
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,000302

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 1) = 12·0,61·0,411 = 12·0,6·4,194 × 10⁻⁵ = 0,000302

Đáp số

P = 0,000302
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6861

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,55) − Φ(−2) = 0,7088 − 0,02275 = 0,6861

Đáp số

P = 0,6861
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 58,36

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Sai số biên

E = 1,761·13,5/√15 = 6,138

Khoảng

64,5 ± 6,138 → [58,36, 70,64]

Đáp số

giới hạn dưới = 58,36
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 4486

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·13/0,5)² = 4486

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 4486

Đáp số

n = 4486
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,92

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Thống kê kiểm định

t = (127,3 − 120)/2,5 = 2,92

Đáp số

t = 2,92
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1537

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,96·10/0,5)² = 1537

Làm tròn lên

n = 1537

Đáp số

n = 1537
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9452

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 99/6 = 16,5

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 59,5

Hệ số tương quan

r = −30,5/√(17,5·59,5) = −0,9452

Đáp số

r = −0,9452
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 46,94

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 337/6 = 56,17

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

Đường hồi quy

b = 323/70 = 4,614
a = 56,17 − 4,614·6 = 28,48
ŷ = 28,48 + 4,614·x

Dự đoán

ŷ = 28,48 + 4,614·4 = 46,94

Đáp số

ŷ = 46,94

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1