Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 58, 48, 38, 18, 15, 26.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 56,25.

μ = 50σ = 5x = 56,25

z =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 7 quả bóng đỏ và 6 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

7 / 6

P =

4.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 12 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 12p = 0,6k = 4

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,9884. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,9884

z =

6.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Kéo ngưỡng sao cho 85% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 10 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 7,1 và độ lệch chuẩn 7,9. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 10d̄ = 7,1s_d = 7,999%t(9) = 3,25

giới hạn dưới = mmHg

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 29. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 29E = 1,590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 73,56 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,56s = 4n = 25

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ < 50 được thực hiện ở mức α = 0.10 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 30. Trên thực tế trung bình là 46.1. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 50μ = 46,1σ = 30n = 100α = 0,10

β = %

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5

r² =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (5,5, 17) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 17)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 17,14

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 203/6 = 33,83

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 24,17² + 14,17² + 4,167² + (−15,83)² + (−18,83)² + (−7,833)² = 1469

Độ lệch chuẩn

s = √(1469/5) = 17,14

Đáp số

s = 17,14

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1,25

Chuẩn hóa

z = (56,25 − 50)/5 = 1,25

Đáp số

z = 1,25

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,2692

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Đáp số

P = 0,2692

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,04204

Công thức nhị thức

P(X = 4) = 495·0,6⁴·0,4⁸ = 495·0,1296·0,0006554 = 0,04204

Đáp số

P = 0,04204

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = −2,27

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,9884 = 0,0116

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,0116 bên trong bảng và đọc ra z.

z = −2,27

Đáp số

z = −2,27

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 185,3 cm

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,85

z từ bảng

z ≈ 1,04

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Đáp số

x = 185,3 cm

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −1,019 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 9, t = 3,25

Sai số biên

E = 3,25·7,9/√10 = 8,119

Khoảng

7,1 ± 8,119 → [−1,019, 15,22]

Đáp số

giới hạn dưới = −1,019 mmHg

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1012

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·29/1,5)² = 1011

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 1012

Đáp số

n = 1012

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,8

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Thống kê kiểm định

t = (73,56 − 75)/0,8 = −1,8

Đáp số

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 49,28 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 − 1,282·3 = 46,15

z theo trung bình thật

z = (46,15 − 46,1)/3 = 0,018

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z < 0.018) = 50.72%

β = 100% − 50,72% = 49,28%

Đáp số

β = 49,28%

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,675

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 125/5 = 25

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 12

Hệ số xác định

r² = −9²/(10·12) = 0,675

Đáp số

r² = 0,675

Khoảng 67,5% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 4,595

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47,5

Đường hồi quy

b = −47,5/17,5 = −2,714

a = 17,83 − (−2,714)·3,5 = 27,33

ŷ = 27,33 − 2,714·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 27,33 + (−2,714)·5,5 = 12,4

Phần dư

e = 17 − 12,4 = 4,595

Đáp số

e = 4,595

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1