Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 17, 57, 43, 58, 15, 33, 47.
n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 175 là bao nhiêu?
μ = 170σ = 5x = 175
P =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,05, 0,2
σ =
4.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 2X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2Y = 2X + 4
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 754,9 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754,9 g
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 100 điện thoại, trung bình 68 h, độ lệch chuẩn đã biết 5 h. Mẫu 2: 60 điện thoại, trung bình 55,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 16 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 68 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 55,5 hσ₂ = 16 h90%
giới hạn dưới = h
8.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 6 ô, năng suất trung bình 67 kg, độ lệch chuẩn 1,5 kg. Nhóm ô 2: 6 ô, trung bình 59 kg, độ lệch chuẩn 8 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 67s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 59s₂ = 899%t(10) = 3,169
giới hạn trên = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 116,8 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,8s = 5n = 16
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3? Độ lệch chuẩn là 12. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 12E = 399%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (9, 69) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(9, 69)
e =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 17,61
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 270/7 = 38,57
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−21,57)² + 18,43² + 4,429² + 19,43² + (−23,57)² + (−5,571)² + 8,429² = 1860
Độ lệch chuẩn
s = √(1860/6) = 17,61
Đáp số
s = 17,61
2.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,8413
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
3.Xác suất
Đáp số: σ = 1,453
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,05 + 5·0,2 = 2,7
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,05 + 25·0,2 = 9,4
Phương sai
Var(X) = 9,4 − 2,7² = 2,11
σ = √2,11 = 1,453
Đáp số
σ = 1,453
4.Xác suất
Đáp số: σY = 4,094
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,9, Var(X) = 4,19, σX = 2,047
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |2|·2,047 = 4,094
Đáp số
σY = 4,094
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 2·2,9 + 4 = 9,8.
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,3085
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Chuẩn hóa
z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5
Đuôi trên
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Đáp số
P = 0,3085
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/10 = −1
Xác suất
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 9,004 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 68 − 55,5 = 12,5
Sai số chuẩn
SE = √(5²/100 + 16²/60) = 2,125
Sai số biên
E = 1,645·2,125 = 3,496
Khoảng
12,5 ± 3,496 → [9,004, 16]
Đáp số
giới hạn dưới = 9,004 h
Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 18,53 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (5·1,5² + 5·8²)/10 = 33,13
sp = 5,755
Sai số biên
E = 3,169·5,755·√(1/6 + 1/6) = 10,53
Khoảng
8 ± 10,53 → [−2,53, 18,53]
Đáp số
giới hạn trên = 18,53 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,56
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Thống kê kiểm định
t = (116,8 − 120)/1,25 = −2,56
Đáp số
t = −2,56
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 107
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (2,576·12/3)² = 106,2
Làm tròn lên
n = 107
Đáp số
n = 107
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9968
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 132/5 = 26,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138
Syy = Σ(y − ȳ)² = 479,2
Hệ số tương quan
r = 138/√(40·479,2) = 0,9968
Đáp số
r = 0,9968
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = −4,81
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 376/6 = 62,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390
Đường hồi quy
b = 390/70 = 5,571
a = 62,67 − 5,571·7 = 23,67
ŷ = 23,67 + 5,571·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 23,67 + 5,571·9 = 73,81
Phần dư
e = 69 − 73,81 = −4,81
Đáp số
e = −4,81
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1