Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 51, 10, 33, 21, 13, 32.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 80 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 5x = 80

P =

3.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 3 người từ một nhóm 10 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 10k = 3

N =

4.Xác suấtKhó

8 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 8p = 0,25

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,7243. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,7243

z =

6.Phân phối chuẩnKhó

khối lượng các túi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Kéo ngưỡng sao cho 20% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 90% cho một trung bình, dựa trên 25 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 4. Sai số biên E₂ của một khoảng 95% từ cùng dữ liệu là bao nhiêu?

90%n₁ = 25E₁ = 495%

E₂ =

8.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 11 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 0,5 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 10, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 3,247 và 2,5% nằm trên 20,483.

n = 11s = 0,5 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 200,3 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,3s = 4n = 81

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 78. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 78σ = 8n = 6499%

U =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 25Σy = 231Σx² = 135Σy² = 10989Σxy = 1209

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 19.

n = 5x = 19

ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15,21

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 160/6 = 26,67

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 24,33² + (−16,67)² + 6,333² + (−5,667)² + (−13,67)² + 5,333² = 1157

Độ lệch chuẩn

s = √(1157/5) = 15,21

Đáp số

s = 15,21

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,9772

Chuẩn hóa

z = 2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772

3.Xác suất

Đáp số: N = 120

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Đáp số

N = 120

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,3671

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,75⁸ = 0,1001

P(X = 1) = 8·0,25·0,75⁷ = 0,267

Cộng lại

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Đáp số

P = 0,3671

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,09

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,7243)/2 = 0,8621

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,8621 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,09

Đáp số

z = 1,09

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 245,8 g

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,2

z từ bảng

z ≈ −0,84

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Đáp số

x = 245,8 g

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 4,766

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/25) = 1,191

Sai số biên mới

E₂ = 4·1,191 = 4,766

Đáp số

E₂ = 4,766

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 0,3494 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 10·0,5² = 2,5

Các giới hạn cho σ²

2,5/20,483 = 0,1221

2,5/3,247 = 0,7699

Giới hạn cho σ

σ = √0,1221 = 0,3494 µm

Đáp số

σ = 0,3494 µm

Khoảng 95% cho σ: [0,3494, 0,8775] µm.

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 0,675

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Thống kê kiểm định

t = (200,3 − 200)/0,4444 = 0,675

Đáp số

t = 0,675

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 80,58

Sai số biên

E = 2,576·8/√64 = 2,576

Giới hạn của khoảng

U = 78 + 2,576 = 80,58

Đáp số

U = 80,58

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9594

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1209 − 25·231/5 = 54

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 10989 − 231²/5 = 316,8

Hệ số tương quan

r = 54/√(10·316,8) = 0,9594

Đáp số

r = 0,9594

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 97,15

Các giá trị trung bình

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 518/5 = 103,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

Đường hồi quy

b = 258/40 = 6,45

a = 103,6 − 6,45·20 = −25,4

ŷ = −25,4 + 6,45·x

Dự đoán

ŷ = −25,4 + 6,45·19 = 97,15

Đáp số

ŷ = 97,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1