Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
1520253035404550

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 50, 48, 24, 25, 15, 37, 38.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tìm điểm z z của điểm số 562,5.

μ = 500σ = 50x = 562,5
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,3510,3520,1530,15μ = 1,1

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15
σ =
4.Xác suấtKhó
xp(x)10,2520,130,2540,3550,05μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = 10X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,1, 0,25, 0,35, 0,05Y = 10X + 1
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
750 g757,9 gX + Y?

X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 757,9 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757,9 g
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
557085100115130145điểmdưới 5%

điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 5% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 100 điểmσ = 15 điểm5%
x = điểm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 20, s = 3,5LU = ?x̄ = 106,5E99%

Một mẫu 20 phần tử có trung bình 106,5 và độ lệch chuẩn s = 3,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 20x̄ = 106,5s = 3,599%t(19) = 2,861
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
μ₁ − μ₂, t(14) = 1,7610LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 10 ô, năng suất trung bình 22,5 kg, độ lệch chuẩn 3 kg. Nhóm ô 2: 6 ô, trung bình 25 kg, độ lệch chuẩn 9 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 22,5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 25s₂ = 990%t(14) = 1,761
giới hạn trên = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,13102,131

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 46,5 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,5s = 10n = 16
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −2,57602,576

Một mẫu 36 phép đo có trung bình 50,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 50,3σ = 4n = 3699%
U =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy14135556878599511110xy51050100

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy21141762383510391247xy5102040x = 7

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (7, 25) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(7, 25)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,03

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 237/7 = 33,86

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 16,14² + 14,14² + (−9,857)² + (−8,857)² + (−18,86)² + 3,143² + 4,143² = 1019

Độ lệch chuẩn

s = √(1019/6) = 13,03

Đáp số

s = 13,03
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1,25

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (562,5 − 500)/50 = 1,25

Đáp số

z = 1,25
3.Xác suất

Đáp số: σ = 1,044

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,15 = 1,1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,15 = 2,3

Phương sai

Var(X) = 2,3 − 1,1² = 1,09
σ = √1,09 = 1,044

Đáp số

σ = 1,044
4.Xác suất

Đáp số: σY = 12,76

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 2,85, Var(X) = 1,628, σX = 1,276

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |10|·1,276 = 12,76

Đáp số

σY = 12,76

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 10·2,85 + 1 = 29,5.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,2119

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Chuẩn hóa

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Đuôi trên

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Đáp số

P = 0,2119
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 75,4 điểm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,05

z từ bảng

z ≈ −1,64

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 điểm

Đáp số

x = 75,4 điểm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 108,7

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Sai số biên

E = 2,861·3,5/√20 = 2,239

Khoảng

106,5 ± 2,239 → [104,3, 108,7]

Đáp số

giới hạn trên = 108,7
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 2,858 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Độ lệch chuẩn gộp

sp² = (9·3² + 5·9²)/14 = 34,71
sp = 5,892

Sai số biên

E = 1,761·5,892·√(1/10 + 1/6) = 5,358

Khoảng

−2,5 ± 5,358 → [−7,858, 2,858]

Đáp số

giới hạn trên = 2,858 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,4

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Thống kê kiểm định

t = (46,5 − 50)/2,5 = −1,4

Đáp số

t = −1,4
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 52,02

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 2,576·4/√36 = 1,717

Giới hạn của khoảng

U = 50,3 + 1,717 = 52,02

Đáp số

U = 52,02
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9987

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 454/6 = 75,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 482
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3327

Hệ số tương quan

r = 482/√(70·3327) = 0,9987

Đáp số

r = 0,9987
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −3,667

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 172/6 = 28,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

Đường hồi quy

b = 258/70 = 3,686
a = 28,67 − 3,686·7 = 2,867
ŷ = 2,867 + 3,686·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 2,867 + 3,686·7 = 28,67

Phần dư

e = 25 − 28,67 = −3,667

Đáp số

e = −3,667

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1