Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
2025303540455055

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 28, 39, 20, 59, 35, 27, 43.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 45,6.

μ = 60σ = 12x = 45,6
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,3510,3520,3μ = 0,95

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
4.Xác suấtKhó
n = 11, p = 0,3: P(X = 2) = ?k01234567891011

Một bài kiểm tra có 11 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 2 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 11p = 0,3k = 2
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
78,25108,25P = ?

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 78,25 và 108,25 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x1 = 78,25x2 = 108,25
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 32x = ?97,5%

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 32σ = 6P = 97,5%
x = min
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 16, s = 16LU = ?x̄ = 64,5E99%

Một mẫu 16 phần tử có trung bình 64,5 và độ lệch chuẩn s = 16. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 16x̄ = 64,5s = 1699%t(15) = 2,947
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 5E = 0,590%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
−2,0452,045t = ?df = 29

Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 20 học sinh, điểm trung bình 42, độ lệch chuẩn 10. Nhóm 2: 11 học sinh, điểm trung bình 46,3, độ lệch chuẩn 11. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).

n₁ = 20x̄₁ = 42s₁ = 10n₂ = 11x̄₂ = 46,3s₂ = 11
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 10E = 299%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy1443645767939100xy5406080100

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 25Σy = 377Σx² = 165Σy² = 30457Σxy = 2167
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy126222321417516611xy24610152025x = 5,5

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (5,5, 10) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 10)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 12,84

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 251/7 = 35,86

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−7,857)² + 3,143² + (−15,86)² + 23,14² + (−0,8571)² + (−8,857)² + 7,143² = 988,9

Độ lệch chuẩn

s = √(988,9/6) = 12,84

Đáp số

s = 12,84
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −1,2

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (45,6 − 60)/12 = −1,2

Đáp số

z = −1,2
3.Xác suất

Đáp số: σ = 0,8047

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Phương sai

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047

Đáp số

σ = 0,8047
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,1998

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 2) = 55·0,32·0,79 = 55·0,09·0,04035 = 0,1998

Đáp số

P = 0,1998
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6353

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45
z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,55) − Φ(−1,45) = 0,7088 − 0,07353 = 0,6353

Đáp số

P = 0,6353
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 43,76 min

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Đáp số

x = 43,76 min
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 76,29

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Sai số biên

E = 2,947·16/√16 = 11,79

Khoảng

64,5 ± 11,79 → [52,71, 76,29]

Đáp số

giới hạn trên = 76,29
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 271

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·5/0,5)² = 270,6

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 271

Đáp số

n = 271
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,106

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Phương sai gộp

sp² = (19·10² + 10·11²)/29 = 107,2
sp = 10,36

Sai số chuẩn

SE = 10,36·√(1/20 + 1/11) = 3,887

Thống kê kiểm định

t = (42 − 46,3)/3,887 = −1,106

Đáp số

t = −1,106

Với df = 29, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,045; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 166

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (2,576·10/2)² = 165,9

Làm tròn lên

n = 166

Đáp số

n = 166
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9893

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 2167 − 25·377/5 = 282
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 30457 − 377²/5 = 2031

Hệ số tương quan

r = 282/√(40·2031) = 0,9893

Đáp số

r = 0,9893
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −3,29

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48,5

Đường hồi quy

b = −48,5/17,5 = −2,771
a = 18,83 − (−2,771)·3,5 = 28,53
ŷ = 28,53 − 2,771·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 28,53 + (−2,771)·5,5 = 13,29

Phần dư

e = 10 − 13,29 = −3,29

Đáp số

e = −3,29

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1