Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 29, 43, 46, 48, 33, 26, 36.
n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 15. Tìm điểm z z của điểm số 88,75.
μ = 70σ = 15x = 88,75
z =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,1, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,1
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 45,5 và 80,5 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 65σ = 10x1 = 45,5x2 = 80,5
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).
μ = 65σ = 10P = 75%
x = điểm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 115 và độ lệch chuẩn s = 6,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 115s = 6,590%t(5) = 2,015
E =
8.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?
σ = 15E = 0,595%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 490,7 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 490,7s = 12n = 16
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 36 phép đo có trung bình 200,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 200,4σ = 5n = 3690%
U =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 42Σy = 70Σx² = 364Σy² = 1010Σxy = 602
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 8,558
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 261/7 = 37,29
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−8,286)² + 5,714² + 8,714² + 10,71² + (−4,286)² + (−11,29)² + (−1,286)² = 439,4
Độ lệch chuẩn
s = √(439,4/6) = 8,558
Đáp số
s = 8,558
2.Thống kê mô tả
Đáp số: z = 1,25
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (88,75 − 70)/15 = 1,25
Đáp số
z = 1,25
3.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 5,76
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,2
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16
Phương sai
Var(X) = 16 − 3,2² = 5,76
Đáp số
Var(X) = 5,76
4.Xác suất
Đáp số: P = 0,9185
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,95 = 0,5905
P(X = 1) = 5·0,1·0,94 = 0,3281
Cộng lại
P = 0,5905 + 0,3281 = 0,9185
Đáp số
P = 0,9185
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9138
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95
z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,55) − Φ(−1,95) = 0,9394 − 0,02559 = 0,9138
Đáp số
P = 0,9138
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 71,75 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Quay lại x
x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 điểm
Đáp số
x = 71,75 điểm
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 5,347
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Sai số biên
E = 2,015·6,5/√6 = 5,347
Đáp số
E = 5,347
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 3458
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·15/0,5)² = 3457
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 3458
Đáp số
n = 3458
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,1
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Thống kê kiểm định
t = (490,7 − 500)/3 = −3,1
Đáp số
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 201,8
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·5/√36 = 1,371
Giới hạn của khoảng
U = 200,4 + 1,371 = 201,8
Đáp số
U = 201,8
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9628
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 602 − 42·70/6 = 112
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1010 − 70²/6 = 193,3
Hệ số tương quan
r = 112/√(70·193,3) = 0,9628
Đáp số
r = 0,9628
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 56,1
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 291/5 = 58,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Đường hồi quy
b = 42/10 = 4,2
a = 58,2 − 4,2·4 = 41,4
ŷ = 41,4 + 4,2·x
Dự đoán
ŷ = 41,4 + 4,2·3,5 = 56,1
Đáp số
ŷ = 56,1
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1