Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 56, 37, 16, 49, 23, 59.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tìm điểm z z của điểm số 560.

μ = 500σ = 100x = 560

z =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15

σ =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 0,5X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,25, 0,1Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 16 trong số đó vượt quá 1288 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1288 kg

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 7 phần tử có trung bình 20,5 và độ lệch chuẩn s = 8,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 7x̄ = 20,5s = 8,595%t(6) = 2,447

giới hạn dưới =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 30. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 30E = 495%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Trung bình của một tổng thể được cho là 120; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 7,5. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 quan sát có trung bình 123,69. Kiểm định H₀: μ = 120 với H₁: μ ≠ 120. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 120σ = 7,5n = 25x̄ = 123,69H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 25 phép đo có trung bình 48,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 48,8σ = 12n = 2599%

L =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 33Σy = 464Σx² = 199Σy² = 36788Σxy = 2673

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 17,73

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 240/6 = 40

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 16² + (−3)² + (−24)² + 9² + (−17)² + 19² = 1572

Độ lệch chuẩn

s = √(1572/5) = 17,73

Đáp số

s = 17,73

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 0,6

Chuẩn hóa

z = (560 − 500)/100 = 0,6

Đáp số

z = 0,6

3.Xác suất

Đáp số: σ = 10,54

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,15 = 23

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,15 = 640

Phương sai

Var(X) = 640 − 23² = 111

σ = √111 = 10,54

Đáp số

σ = 10,54

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 0,65

Độ phân tán của X

μ = 1,9, Var(X) = 1,69, σ_X = 1,3

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |0,5|·1,3 = 0,65

Đáp số

σ_Y = 0,65

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·1,9 + 20 = 20,95.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9332

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Chuẩn hóa

z = (1288 − 1360)/48 = −1,5

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Đáp số

P = 0,9332

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 27,95 min

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Quay lại x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Đáp số

x = 27,95 min

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 12,64

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Sai số biên

E = 2,447·8,5/√7 = 7,861

Khoảng

20,5 ± 7,861 → [12,64, 28,36]

Đáp số

giới hạn dưới = 12,64

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 217

Giải tìm n

n = (1,96·30/4)² = 216,1

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 217

Đáp số

n = 217

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,01389

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5

z = (123,69 − 120)/1,5 = 2,46

Diện tích đuôi

Φ(2,46) = 0,9931

1 − Φ(2,46) = 0,0069

Giá trị p

p = 2·0,0069 = 0,01389

Đáp số

p = 0,01389

p ≤ 0,05, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5%.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 42,62

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Giới hạn của khoảng

L = 48,8 − 6,182 = 42,62

Đáp số

L = 42,62

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9613

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 2673 − 33·464/6 = 121

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 36788 − 464²/6 = 905,3

Hệ số tương quan

r = 121/√(17,5·905,3) = 0,9613

Đáp số

r = 0,9613

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 13,35

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 87/5 = 17,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Đường hồi quy

b = −27/10 = −2,7

a = 17,4 − (−2,7)·3 = 25,5

ŷ = 25,5 − 2,7·x

Dự đoán

ŷ = 25,5 + (−2,7)·4,5 = 13,35

Đáp số

ŷ = 13,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1