Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 56, 12, 29, 59, 17, 50, 10.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 20.

μ = 60σ = 20x = 20

z =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 4 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

6 / 4

P =

4.Xác suấtKhó

11 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 11p = 0,6

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 62 và 77 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 77

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 40% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 65 điểmσ = 10 điểm40%

x = điểm

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 6 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 7,1 và độ lệch chuẩn 6,6. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 6d̄ = 7,1s_d = 6,699%t(5) = 4,032

giới hạn trên = mmHg

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 19. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?

σ = 19E = 390%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 201,7 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 5n = 25

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 101,2. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 101,2σ = 4n = 6495%

L =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 42Σy = 114Σx² = 364Σy² = 2604Σxy = 972

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 57?

n = 5ŷ = 57

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 21,35

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 233/7 = 33,29

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 22,71² + (−21,29)² + (−4,286)² + 25,71² + (−16,29)² + 16,71² + (−23,29)² = 2735

Độ lệch chuẩn

s = √(2735/6) = 21,35

Đáp số

s = 21,35

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −2

Chuẩn hóa

z = (20 − 60)/20 = −2

Đáp số

z = −2

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,3333

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333

Đáp số

P = 0,3333

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,000734

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,4¹¹ = 4,194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0,6·0,4¹⁰ = 0,0006921

Cộng lại

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Đáp số

P = 0,000734

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,5028

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (77 − 65)/10 = 1,2

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,2) − Φ(−0,3) = 0,8849 − 0,3821 = 0,5028

Đáp số

P = 0,5028

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 67,5 điểm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,6

z từ bảng

z ≈ 0,25

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 điểm

Đáp số

x = 67,5 điểm

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 17,96 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 5, t = 4,032

Sai số biên

E = 4,032·6,6/√6 = 10,86

Khoảng

7,1 ± 10,86 → [−3,764, 17,96]

Đáp số

giới hạn trên = 17,96 mmHg

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 109

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·19/3)² = 108,5

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 109

Đáp số

n = 109

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,7

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Thống kê kiểm định

t = (201,7 − 200)/1 = 1,7

Đáp số

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 100,2

Sai số biên

E = 1,96·4/√64 = 0,98

Giới hạn của khoảng

L = 101,2 − 0,98 = 100,2

Đáp số

L = 100,2

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9937

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 972 − 42·114/6 = 174

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2604 − 114²/6 = 438

Hệ số tương quan

r = 174/√(70·438) = 0,9937

Đáp số

r = 0,9937

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 3,5

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 321/5 = 64,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Đường hồi quy

b = 48/10 = 4,8

a = 64,2 − 4,8·5 = 40,2

ŷ = 40,2 + 4,8·x

Giải tìm x

x = (57 − 40,2)/4,8 = 3,5

Đáp số

x = 3,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1