Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 24, 10, 34, 25, 23, 42.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 40. Tìm điểm z z của điểm số 468.

μ = 500σ = 40x = 468

z =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35

σ =

4.Xác suấtKhó

5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 5p = 0,4

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hộp là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 12 kg và độ lệch chuẩn 0,8 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 9 trong số đó vượt quá 109,2 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 109,2 kg

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 90% cho một trung bình, dựa trên 50 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 11,3. Sai số biên E₂ của một khoảng 99% dựa trên 450 quan sát là bao nhiêu?

90%n₁ = 50E₁ = 11,399%n₂ = 450

E₂ =

8.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 8 ô, năng suất trung bình 22 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Nhóm ô 2: 6 ô, trung bình 31,5 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 22s₁ = 4,5n₂ = 6x̄₂ = 31,5s₂ = 4,590%t(12) = 1,782

giới hạn trên = kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 197,8 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,8s = 12n = 100

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 90 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 34 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 34n₂ = 80

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 33Σy = 256Σx² = 199Σy² = 11318Σxy = 1489

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (19, 96) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(19, 96)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 10,86

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 158/6 = 26,33

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−2,333)² + (−16,33)² + 7,667² + (−1,333)² + (−3,333)² + 15,67² = 589,3

Độ lệch chuẩn

s = √(589,3/5) = 10,86

Đáp số

s = 10,86

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,8

Chuẩn hóa

z = (468 − 500)/40 = −0,8

Đáp số

z = −0,8

3.Xác suất

Đáp số: σ = 1,077

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,8

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9

Phương sai

Var(X) = 9 − 2,8² = 1,16

σ = √1,16 = 1,077

Đáp số

σ = 1,077

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,337

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776

P(X = 1) = 5·0,4·0,6⁴ = 0,2592

Cộng lại

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Đáp số

P = 0,337

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3085

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Chuẩn hóa

z = (109,2 − 108)/2,4 = 0,5

Xác suất

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Đáp số

P = 0,3085

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9706

Phân bố của hiệu

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Đáp số

P = 0,9706

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 5,898

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/450) = 0,522

Sai số biên mới

E₂ = 11,3·0,522 = 5,898

Đáp số

E₂ = 5,898

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = −5,169 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (7·4,5² + 5·4,5²)/12 = 20,25

s_p = 4,5

Sai số biên

E = 1,782·4,5·√(1/8 + 1/6) = 4,331

Khoảng

−9,5 ± 4,331 → [−13,83, −5,169]

Đáp số

giới hạn trên = −5,169 kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,833

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Thống kê kiểm định

t = (197,8 − 200)/1,2 = −1,833

Đáp số

t = −1,833

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −2,119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 90/300 = 0,3

p̂₂ = 34/80 = 0,425

p̂ = 124/380 = 0,3263

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,3263·0,6737·(1/300 + 1/80)) = 0,059

Thống kê kiểm định

z = (0,3 − 0,425)/0,059 = −2,119

Đáp số

z = −2,119

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9738

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1489 − 33·256/6 = 81

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 11318 − 256²/6 = 395,3

Hệ số tương quan

r = 81/√(17,5·395,3) = 0,9738

Đáp số

r = 0,9738

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 2,45

Các giá trị trung bình

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 489/5 = 97,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

Đường hồi quy

b = 170/40 = 4,25

a = 97,8 − 4,25·20 = 12,8

ŷ = 12,8 + 4,25·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 12,8 + 4,25·19 = 93,55

Phần dư

e = 96 − 93,55 = 2,45

Đáp số

e = 2,45

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1