Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 42, 55, 59, 46, 20, 40.
n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 68 là bao nhiêu?
μ = 60σ = 8x = 68
P =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,35, 0,05
σ =
4.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €3 với xác suất 0,15 và €50 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €1€3: p = 0,15€50: p = 0,02
E(G) = €
5.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 117,8 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 50 điện thoại, trung bình 136 h, độ lệch chuẩn đã biết 19 h. Mẫu 2: 50 điện thoại, trung bình 121 h, độ lệch chuẩn đã biết 20 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 136 hσ₁ = 19 hn₂ = 50x̄₂ = 121 hσ₂ = 20 h95%
giới hạn dưới = h
8.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 11 ô, năng suất trung bình 70,5 kg, độ lệch chuẩn 10 kg. Nhóm ô 2: 11 ô, trung bình 65 kg, độ lệch chuẩn 2 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 70,5s₁ = 10n₂ = 11x̄₂ = 65s₂ = 290%t(20) = 1,725
giới hạn dưới = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 40 chi tiết có chiều dài trung bình 53 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 5 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 47 mm, độ lệch chuẩn đã biết 20 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
n₁ = 40x̄₁ = 53 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 30x̄₂ = 47 mmσ₂ = 20 mm
z =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ > 50 được thực hiện ở mức α = 0,05 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 50,65. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 50μ = 50,65σ = 5n = 100α = 0,05
1 − β = %
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 64?
n = 5ŷ = 64
x =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 13,75
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 262/6 = 43,67
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−1,667)² + 11,33² + 15,33² + 2,333² + (−23,67)² + (−3,667)² = 945,3
Độ lệch chuẩn
s = √(945,3/5) = 13,75
Đáp số
s = 13,75
2.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,1587
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Đáp số
P = 0,1587
3.Xác suất
Đáp số: σ = 8,718
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,05 = 22
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,05 = 560
Phương sai
Var(X) = 560 − 22² = 76
σ = √76 = 8,718
Đáp số
σ = 8,718
4.Xác suất
Đáp số: E(G) = 0,45 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 2 (p = 0,15), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 2·0,15 + 49·0,02 − 1·0,83 = 0,45 €
Đáp số
E(G) = 0,45 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,02275
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Chuẩn hóa
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/10 = −1
Xác suất
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 7,353 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 136 − 121 = 15
Sai số chuẩn
SE = √(19²/50 + 20²/50) = 3,901
Sai số biên
E = 1,96·3,901 = 7,647
Khoảng
15 ± 7,647 → [7,353, 22,65]
Đáp số
giới hạn dưới = 7,353 h
Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 0,1959 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (10·10² + 10·2²)/20 = 52
sp = 7,211
Sai số biên
E = 1,725·7,211·√(1/11 + 1/11) = 5,304
Khoảng
5,5 ± 5,304 → [0,1959, 10,8]
Đáp số
giới hạn dưới = 0,1959 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,606
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(5²/40 + 20²/30) = √13,96 = 3,736
Thống kê kiểm định
z = (53 − 47)/3,736 = 1,606
Đáp số
z = 1,606
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 36,5 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 50 + 1,645·0,5 = 50,82
z theo trung bình thật
z = (50,82 − 50,65)/0,5 = 0,345
Công suất
lực của kiểm định = P(Z > 0,345) = 36,5%
1 − β = 36,5%
Đáp số
1 − β = 36,5%
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9509
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 205/6 = 34,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 154,8
Hệ số tương quan
r = 49,5/√(17,5·154,8) = 0,9509
Đáp số
r = 0,9509
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 4,023
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 419/5 = 83,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 266
Đường hồi quy
b = 266/40 = 6,65
a = 83,8 − 6,65·7 = 37,25
ŷ = 37,25 + 6,65·x
Giải tìm x
x = (64 − 37,25)/6,65 = 4,023
Đáp số
x = 4,023
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1