Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
152025303540455055

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 12, 45, 37, 49, 49, 57, 35.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 94 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 5x = 94
P =
3.Xác suấtTrung bình
đỏ: 5xanh dương: 3

Một túi chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

5 / 3
P =
4.Xác suấtKhó
€p(x)−10,7920,290,01

Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €3 với xác suất 0,2 và €10 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €1€3: p = 0,2€10: p = 0,01
E(G) = €
5.Phân phối chuẩnTrung bình
454574P = ?

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 454 và 574 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 574
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
4 s0X − Y?

Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 6, s = 9LUx̄ = 106E = ?99%

Một mẫu 6 phần tử có trung bình 106 và độ lệch chuẩn s = 9. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 6x̄ = 106s = 999%t(5) = 4,032
E =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 25, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 25. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 25E = 290%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,06402,064

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 490,7 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 490,7s = 15n = 25
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
μ₀x̄c

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 500 với H₁: μ < 500 được thực hiện ở mức α = 0.10 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 15. Trên thực tế trung bình là 491. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.

μ₀ = 500μ = 491σ = 15n = 25α = 0,10
1 − β = %
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy2641261782310291237xy51010203040

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 42Σy = 124Σx² = 364Σy² = 3208Σxy = 1080
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy1745204723662670298332101xy2025306080100x = 24,5

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (24,5, 74) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 74)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,67

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 284/7 = 40,57

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−28,57)² + 4,429² + (−3,571)² + 8,429² + 8,429² + 16,43² + (−5,571)² = 1292

Độ lệch chuẩn

s = √(1292/6) = 14,67

Đáp số

s = 14,67
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8849

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Đáp số

P = 0,8849
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,3571

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Đáp số

P = 0,3571
4.Xác suất

Đáp số: E(G) = −0,3 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 2 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 2·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = −0,3 €

Đáp số

E(G) = −0,3 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8428

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428

Đáp số

P = 0,8428
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Chuẩn hóa

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 14,81

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Sai số biên

E = 4,032·9/√6 = 14,81

Đáp số

E = 14,81
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 423

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·25/2)² = 422,8

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 423

Đáp số

n = 423
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,1

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Thống kê kiểm định

t = (490,7 − 500)/3 = −3,1

Đáp số

t = −3,1
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: 1 − β = 95,71 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 15/√25 = 3
x̄c = 500 − 1,282·3 = 496,2

z theo trung bình thật

z = (496,2 − 491)/3 = 1,718

Công suất

lực của kiểm định = P(Z < 1.718) = 95.71%
1 − β = 95,71%

Đáp số

1 − β = 95,71%
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9975

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 1080 − 42·124/6 = 212
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3208 − 124²/6 = 645,3

Hệ số tương quan

r = 212/√(70·645,3) = 0,9975

Đáp số

r = 0,9975
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 5,333

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 412/6 = 68,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 588

Đường hồi quy

b = 588/157,5 = 3,733
a = 68,67 − 3,733·24,5 = −22,8
ŷ = −22,8 + 3,733·x

Giá trị dự đoán

ŷ = −22,8 + 3,733·24,5 = 68,67

Phần dư

e = 74 − 68,67 = 5,333

Đáp số

e = 5,333

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1