Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 20, 13, 58, 57, 22.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 48 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 12x = 48

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 7 quả bóng đỏ và 4 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

7 / 4

P =

4.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €6 với xác suất 0,1 và €20 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €2€6: p = 0,1€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 65 và 67,5 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 67,5

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 8 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −1,2 và độ lệch chuẩn 2,5. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 8d̄ = −1,2s_d = 2,599%t(7) = 3,499

E = mmHg

8.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 14 ô, năng suất trung bình 85 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Nhóm ô 2: 8 ô, trung bình 87,5 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 85s₁ = 4,5n₂ = 8x̄₂ = 87,5s₂ = 4,599%t(20) = 2,845

giới hạn trên = kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 100 chi tiết có chiều dài trung bình 93 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 20 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 60 chi tiết có trung bình 100,4 mm, độ lệch chuẩn đã biết 17 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 100x̄₁ = 93 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 60x̄₂ = 100,4 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 55 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 56 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 56n₂ = 80

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 33Σy = 360Σx² = 199Σy² = 21836Σxy = 2038

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (1,5, 26) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 26)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 21,71

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 170/5 = 34

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−21)² + 24² + 23² + (−12)² = 1886

Độ lệch chuẩn

s = √(1886/4) = 21,71

Đáp số

s = 21,71

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1587

Chuẩn hóa

z = −1

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,3818

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Đáp số

P = 0,3818

4.Xác suất

Đáp số: E(G) = −1,2 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 4 (p = 0,1), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 4·0,1 + 18·0,01 − 2·0,89 = −1,2 €

Đáp số

E(G) = −1,2 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,09871

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871

Đáp số

P = 0,09871

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 36,05 min

z của phân vị

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Quay lại x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Đáp số

x = 36,05 min

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 3,093 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 7, t = 3,499

Sai số biên

E = 3,499·2,5/√8 = 3,093

Đáp số

E = 3,093 mmHg

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 3,174 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (13·4,5² + 7·4,5²)/20 = 20,25

s_p = 4,5

Sai số biên

E = 2,845·4,5·√(1/14 + 1/8) = 5,674

Khoảng

−2,5 ± 5,674 → [−8,174, 3,174]

Đáp số

giới hạn trên = 3,174 kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −2,492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(20²/100 + 17²/60) = √8,817 = 2,969

Thống kê kiểm định

z = (93 − 100,4)/2,969 = −2,492

Đáp số

z = −2,492

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −2,057

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 56/80 = 0,7

p̂ = 111/180 = 0,6167

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,6167·0,3833·(1/100 + 1/80)) = 0,07293

Thống kê kiểm định

z = (0,55 − 0,7)/0,07293 = −2,057

Đáp số

z = −2,057

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9025

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 2038 − 33·360/6 = 58

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 21836 − 360²/6 = 236

Hệ số tương quan

r = 58/√(17,5·236) = 0,9025

Đáp số

r = 0,9025

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 4,295

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

Đường hồi quy

b = −47/17,5 = −2,686

a = 16,33 − (−2,686)·3,5 = 25,73

ŷ = 25,73 − 2,686·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 25,73 + (−2,686)·1,5 = 21,7

Phần dư

e = 26 − 21,7 = 4,295

Đáp số

e = 4,295

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1