Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 18, 20, 50, 49, 46, 37, 43.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 48 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 10x = 48

P =

3.Xác suấtTrung bình

Gieo một con xúc xắc cân đối 2 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?

n = 2

P =

4.Xác suấtKhó

10 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 10p = 0,6

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 78,25 và 123,25 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 78,25x₂ = 123,25

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 20% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 20).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 7 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 2,6 và độ lệch chuẩn 8. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.

n = 7d̄ = 2,6s_d = 895%t(6) = 2,447

giới hạn trên = mmHg

8.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 20 ô, năng suất trung bình 33 kg, độ lệch chuẩn 5,5 kg. Nhóm ô 2: 11 ô, trung bình 44 kg, độ lệch chuẩn 6 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 20x̄₁ = 33s₁ = 5,5n₂ = 11x̄₂ = 44s₂ = 699%t(29) = 2,756

giới hạn dưới = kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 100 chi tiết có chiều dài trung bình 130 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 6 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 132,5 mm, độ lệch chuẩn đã biết 17 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 100x̄₁ = 130 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 30x̄₂ = 132,5 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 2 đơn vị của trung bình với lực 90%. Độ lệch chuẩn là 18. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

α = 0,05lực của kiểm định = 90%δ = 2σ = 18z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 39?

n = 6ŷ = 39

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,4

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 263/7 = 37,57

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−19,57)² + (−17,57)² + 12,43² + 11,43² + 8,429² + (−0,5714)² + 5,429² = 1078

Độ lệch chuẩn

s = √(1078/6) = 13,4

Đáp số

s = 13,4

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8849

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Đáp số

P = 0,8849

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,3056

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Biến cố bù

P(không có mặt sáu) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Đáp số

P = 0,3056

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,001678

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,4¹⁰ = 0,0001049

P(X = 1) = 10·0,6·0,4⁹ = 0,001573

Cộng lại

P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678

Đáp số

P = 0,001678

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8659

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45

z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,55) − Φ(−1,45) = 0,9394 − 0,07353 = 0,8659

Đáp số

P = 0,8659

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 26,95 min

z của phân vị

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Quay lại x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Đáp số

x = 26,95 min

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 9,999 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 6, t = 2,447

Sai số biên

E = 2,447·8/√7 = 7,399

Khoảng

2,6 ± 7,399 → [−4,799, 9,999]

Đáp số

giới hạn trên = 9,999 mmHg

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −16,87 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (19·5,5² + 10·6²)/29 = 32,23

s_p = 5,677

Sai số biên

E = 2,756·5,677·√(1/20 + 1/11) = 5,874

Khoảng

−11 ± 5,874 → [−16,87, −5,126]

Đáp số

giới hạn dưới = −16,87 kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −0,7908

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(6²/100 + 17²/30) = √9,993 = 3,161

Thống kê kiểm định

z = (130 − 132,5)/3,161 = −0,7908

Đáp số

z = −0,7908

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 694

Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = ((1,645 + 1,282)·18/2)² = 694

Làm tròn lên

n = 694

Đáp số

n = 694

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9882

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 130/5 = 26

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64

Hệ số tương quan

r = −25/√(10·64) = −0,9882

Đáp số

r = −0,9882

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 2,453

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 269/6 = 44,83

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 97,5

Đường hồi quy

b = 97,5/17,5 = 5,571

a = 44,83 − 5,571·3,5 = 25,33

ŷ = 25,33 + 5,571·x

Giải tìm x

x = (39 − 25,33)/5,571 = 2,453

Đáp số

x = 2,453

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1