Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 15, 49, 18, 18, 43.
n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 75. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 462,5 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 75x = 462,5
P =
3.Xác suấtTrung bình
Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 3 người từ một nhóm 14 người? Thứ tự không quan trọng.
n = 14k = 3
N =
4.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 5. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,05, 0,2Y = −2X + 5
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 1082 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1082 kg
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,05 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Một khoảng tin cậy 99% cho một trung bình, dựa trên 25 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 5,5. Sai số biên E₂ của một khoảng 95% từ cùng dữ liệu là bao nhiêu?
99%n₁ = 25E₁ = 5,595%
E₂ =
8.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 16 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 9,1 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 15, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 6,262 và 2,5% nằm trên 27,488.
n = 16s = 9,1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
12 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là −4,29 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 5,5. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −4,29sd = 5,5
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 120 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 44 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 44n₂ = 80
z =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 16,07
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 143/5 = 28,6
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−13,6)² + 20,4² + (−10,6)² + (−10,6)² + 14,4² = 1033
Độ lệch chuẩn
s = √(1033/4) = 16,07
Đáp số
s = 16,07
2.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,3085
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Đáp số
P = 0,3085
3.Xác suất
Đáp số: N = 364
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổ hợp
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
Đáp số
N = 364
4.Xác suất
Đáp số: σY = 2,835
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,7, Var(X) = 2,01, σX = 1,418
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |−2|·1,418 = 2,835
Đáp số
σY = 2,835
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·2,7 + 5 = −0,4.
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,06681
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Chuẩn hóa
z = (1082 − 1020)/41,57 = 1,5
Xác suất
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Đáp số
P = 0,06681
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9616
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Đáp số
P = 0,9616
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: E₂ = 4,185
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Tỉ số các sai số biên
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/25) = 0,7609
Sai số biên mới
E₂ = 5,5·0,7609 = 4,185
Đáp số
E₂ = 4,185
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 6,722 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 15·9,1² = 1242
Các giới hạn cho σ²
1242/27,488 = 45,19
1242/6,262 = 198,4
Giới hạn cho σ
σ = √45,19 = 6,722 µm
Đáp số
σ = 6,722 µm
Khoảng 95% cho σ: [6,722, 14,08] µm.
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,702
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Sai số chuẩn của hiệu trung bình
SE = 5,5/√12 = 1,588
Thống kê kiểm định
t = −4,29/1,588 = −2,702
Đáp số
t = −2,702
Với df = 11, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,201; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −2,407
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 44/80 = 0,55
p̂ = 164/380 = 0,4316
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,4316·0,5684·(1/300 + 1/80)) = 0,06232
Thống kê kiểm định
z = (0,4 − 0,55)/0,06232 = −2,407
Đáp số
z = −2,407
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,9049
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 132/6 = 22
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 76
Hệ số tương quan
r = −33/√(17,5·76) = −0,9049
Đáp số
r = −0,9049
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 16,23
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Đường hồi quy
b = −33/17,5 = −1,886
a = 20 − (−1,886)·3,5 = 26,6
ŷ = 26,6 − 1,886·x
Dự đoán
ŷ = 26,6 + (−1,886)·5,5 = 16,23
Đáp số
ŷ = 16,23
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1