Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 40, 33, 22, 55, 45.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 102.

μ = 100σ = 5x = 102

z =

3.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 3 người từ một nhóm 12 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 12k = 3

N =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X − 3. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 88 và 118,75 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 118,75

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 40% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 13 phần tử có trung bình 108,5 và độ lệch chuẩn s = 10,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 13x̄ = 108,5s = 10,590%t(12) = 1,782

giới hạn trên =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 18. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 18E = 295%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 97,24 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,24s = 8n = 81

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 25 phép đo có trung bình 49,6. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 49,6σ = 4n = 2590%

U =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 48) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 48)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 12,43

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 195/5 = 39

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 1² + (−6)² + (−17)² + 16² + 6² = 618

Độ lệch chuẩn

s = √(618/4) = 12,43

Đáp số

s = 12,43

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 0,4

Chuẩn hóa

z = (102 − 100)/5 = 0,4

Đáp số

z = 0,4

3.Xác suất

Đáp số: N = 220

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Đáp số

N = 220

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 2,4

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 2,6, Var(X) = 1,44, σ_X = 1,2

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |−2|·1,2 = 2,4

Đáp số

σ_Y = 2,4

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·2,6 − 3 = −8,2.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6825

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,25) − Φ(−0,8) = 0,8944 − 0,2119 = 0,6825

Đáp số

P = 0,6825

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 510 h

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,6

z từ bảng

z ≈ 0,25

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 500 + 0,25·40 = 510 h

Đáp số

x = 510 h

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 113,7

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Sai số biên

E = 1,782·10,5/√13 = 5,189

Khoảng

108,5 ± 5,189 → [103,3, 113,7]

Đáp số

giới hạn trên = 113,7

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 312

Giải tìm n

n = (1,96·18/2)² = 311,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 312

Đáp số

n = 312

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,105

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Thống kê kiểm định

t = (97,24 − 100)/0,8889 = −3,105

Đáp số

t = −3,105

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 50,92

Sai số biên

E = 1,645·4/√25 = 1,316

Giới hạn của khoảng

U = 49,6 + 1,316 = 50,92

Đáp số

U = 50,92

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9576

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 124/6 = 20,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 77,33

Hệ số xác định

r² = −36²/(17,5·77,33) = 0,9576

Đáp số

r² = 0,9576

Khoảng 95,76% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,919

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 341/6 = 56,83

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103,5

Đường hồi quy

b = 103,5/17,5 = 5,914

a = 56,83 − 5,914·3,5 = 36,13

ŷ = 36,13 + 5,914·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 36,13 + 5,914·2,5 = 50,92

Phần dư

e = 48 − 50,92 = −2,919

Đáp số

e = −2,919

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1